MATEMANIJA

Na sest numerisanih sedista na jednoj klupi rasporediti tri devojke i tri mladica tako da nikoje dve osobe istog pola ne sede jedna do druge. Na koliko nacina se to moze uciniti?
Resenje: [inlmath]72[/inlmath].

I sad, neko logicno razmisljanje je da ce taj raspored moci imati dva opsta oblika:
[dispmath]M-D-M-D-M-D \\ D-M-D-M-D-M[/dispmath]
Naravno, treba pretpostaviti da se radi o tri razlicita momka i tri razlicite devojke, pa sad to kombinovati. Ali kako? Ne snalazim se ovde.

Treba li drugacije da rezonujem ovo?

Sve si tačno rezonovao – i da imamo ta dva oblika rasporeda, i da sad treba napraviti razliku među samim momcima i samim devojkama.
Uzmimo ovaj prvi oblik, [inlmath]M-D-M-D-M-D[/inlmath].
Kod tog oblika raspoređivanja momke treba rasporediti na prvu, treću i petu poziciju. Dakle, na tri pozicije, pri čemu je redosled bitan. Znači – permutacije bez ponavljanja od tri elementa.
Isti slučaj i s devojkama, koje treba rasporediti na drugu, četvrtu i šestu poziciju – to jest, takođe na tri pozicije.

Onda to isto i za onaj drugi oblik, [inlmath]D-M-D-M-D-M[/inlmath], pri čemu ćeš, očekivano, zbog simetrije, dobiti isti broj mogućnosti kao za prethodni oblik.

Na kraju sabereš broj mogućnosti za prvi oblik i broj mogućnosti za drugi oblik.

Jasno.
Hvala.

Dakle:
[dispmath]2\cdot3!\cdot3!=2\cdot6\cdot6=72[/dispmath]

Tako je.

Zadatak možemo rešiti i bez poznavanja teorije kombinatorike – čisto logičkim razmišljanjem.

Na [inlmath]1.[/inlmath] mesto može sesti bilo ko od njih šestoro. To je, zasad, [inlmath]6[/inlmath] mogućnosti:
[dispmath]6[/dispmath]
Na [inlmath]2.[/inlmath] mesto može sesti bilo koja od [inlmath]3[/inlmath] osobe koje su suprotnog pola u odnosu na personu što je sela na [inlmath]1.[/inlmath] mesto – znači, dosadašnji broj slučajeva pomnožimo sa [inlmath]3[/inlmath]:
[dispmath]6\cdot3[/dispmath]
Dosad smo „potrošili“ jednog mladića i jednu devojku. Ostali su nam dakle, dve devojke i dvojica mladića.
Na [inlmath]3.[/inlmath] mesto treba smestiti neku od preostale dve osobe koje su istog pola kao osoba na [inlmath]1.[/inlmath] mestu. To, naravno, možemo uraditi na [inlmath]2[/inlmath] načina:
[dispmath]6\cdot3\cdot2[/dispmath]
Na [inlmath]4.[/inlmath] mesto treba smestiti neku od preostale dve osobe koje su istog pola kao osoba na [inlmath]2.[/inlmath] mestu. To, takođe, možemo uraditi na [inlmath]2[/inlmath] načina:
[dispmath]6\cdot3\cdot2\cdot2[/dispmath]
Nakon ovoga su nam preostali jedan mladić i jedna devojka. Na [inlmath]5.[/inlmath] mesto treba smestiti osobu koja je istog pola kao osoba na [inlmath]1.[/inlmath] (odnosno [inlmath]3.[/inlmath]) mestu, a to, dabome, možemo uraditi samo na jedan način, jer nam je samo jedna osoba tog pola i preostala. Isti rezon važi i za smeštanje poslednje preostale osobe na [inlmath]6.[/inlmath] mesto:
[dispmath]6\cdot3\cdot2\cdot2\cdot1\cdot1=72[/dispmath]

Na koliko načina je moguće rasporediti [inlmath]5[/inlmath] dečaka i [inlmath]5[/inlmath] devojčica u redu od [inlmath]10[/inlmath] stolica tako da nikada ne sede jedno do drugog istog pola?

Pre svega jesi li sam pokušao da rešiš na osnovu skoro identičnog zadatka iz ove teme? Ako jesi a ne dobijaš ispravno rešenje, napiši svoj postupak pa da ga proverimo.

@Retro Shoes, nisi nov korisnik pa da mora da ti se skreće pažnja na Pravilnik (konkretno, tačka 6).
Dosad bi trebalo da znaš da se na ovom forumu pitanja ovako ne postavljaju.
I, što reče Wolf, ako razumeš princip rešavanja prethodnog zadatka u ovoj temi, moći ćeš i ovaj da rešiš, budući da su samo izmenjene brojne vrednosti.
Ubuduće će ti ovakvi postovi biti uklonjeni.

Pozdrav Matemanijaci Imam jedno glupo pitanje vezano za ova dva zadatka koja su postavljena ovde. Znaci kada imamo ovako postavljen zadatak sa forom da na [inlmath]n[/inlmath] necega raspodelimo isti broj osoba [inlmath]A(5)[/inlmath] i [inlmath]B(5)[/inlmath] tako da osobe istog pola ne sede jedno pored drugog. [inlmath](A\;B)[/inlmath]. Da li mozemo za opstu formulu uzeti proizvod faktorijala osoba i jos da pomnozimo sa [inlmath]2[/inlmath]. Naravno kad je [inlmath]5[/inlmath] osoba [inlmath]A[/inlmath] a [inlmath]4[/inlmath] osoba [inlmath]B[/inlmath] onda to ne pije vodu, ili kada su nam i [inlmath]n[/inlmath] i obe osobe brojcano jednake, to je druga fora koju znam.

razer123 je napisao:Znaci kada imamo ovako postavljen zadatak sa forom da na [inlmath]n[/inlmath] necega raspodelimo isti broj osoba [inlmath]A(5)[/inlmath] i [inlmath]B(5)[/inlmath] tako da osobe istog pola ne sede jedno pored drugog. [inlmath](A\;B)[/inlmath]. Da li mozemo za opstu formulu uzeti proizvod faktorijala osoba i jos da pomnozimo sa [inlmath]2[/inlmath].

Upravo. Isto kao i u prvom zadatku ove teme, samo što [inlmath]5[/inlmath] zamenimo sa [inlmath]n[/inlmath] (radi jednostavnijeg zapisa, uzeo sam ovde da nam je [inlmath]n[/inlmath] broj osoba u svakoj od grupa, a da ukupno imamo [inlmath]2n[/inlmath] mesta na koja ih treba rasporediti):
[dispmath]\underbrace{M-D-M-D-\cdots-M-D}_{2n}\\
\underbrace{D-M-D-M-\cdots-D-M}_{2n}[/dispmath] Znači, dve mogućnosti, a unutar svake imamo [inlmath]n!\cdot n![/inlmath] podslučajeva. Dakle, [inlmath]2n!n![/inlmath].
Ili, mogli smo na prvo mesto postaviti neku od ukupno [inlmath]2n[/inlmath] osoba (neku iz bilo koje dve grupe). Na drugo mesto neku od onih [inlmath]n[/inlmath] koje su iz druge grupe u odnosu na već izabranu osobu, pa zatim na treće mesto neku od onih [inlmath](n-1)[/inlmath] iz prve grupe, pa na četvrto mesto neku od onih [inlmath](n-1)[/inlmath] iz druge grupe itd. Znači, [inlmath]2n\cdot n\cdot(n-1)\cdot(n-1)\cdots2\cdot2\cdot1\cdot1=2n!n![/inlmath].

razer123 je napisao:Naravno kad je [inlmath]5[/inlmath] osoba [inlmath]A[/inlmath] a [inlmath]4[/inlmath] osoba [inlmath]B[/inlmath] onda to ne pije vodu,

Ili, za opšti slučaj raspoređivanja [inlmath]n[/inlmath] osoba iz jedne i [inlmath](n-1)[/inlmath] osoba iz druge grupe, na ukupno [inlmath]2n-1[/inlmath] mesta.
Pa i tada je jednostavno naći rešenje, samo što tad nemamo ona dva glavna slučaja, već samo jedan. I onda treba videti na koliko načina možemo rasporediti osobe iz jedne, a na koliko iz druge grupe. O'š da pokušaš?

razer123 je napisao:ili kada su nam i [inlmath]n[/inlmath] i obe osobe brojcano jednake, to je druga fora koju znam.

Ovo nisam razumeo, možeš li malo da pojasniš?

Hvala za odgovor, poenta je sto sam hteo da naucim opste formule za par vrsta ovakvih zadataka, da ne gubim vreme na razmisljanje. A na ono poslednje, mislio sam npr kad na [inlmath]10[/inlmath] stolica treba da raspodelimo [inlmath]10[/inlmath] devojaka i [inlmath]10[/inlmath] momaka tako da nijedna osoba istog pola ne bude jedno pored drugog (ovo sto se inace trazi u svakom ovakvom), Tada za opstu formulu znam [inlmath](n!)^22^n[/inlmath] to kada su mi svi iste vrednosti. Kada mi je broj momaka i devojaka isti a broj stolica bilo koji broj vazi [inlmath]2(n!)^2[/inlmath] (to sam te pitao da li uvek vazi), i sad mi jos treba kombinacija kada su mi i momci i devojke a i stolice razlicite vrednosti.