MATEMANIJA

Kada se [inlmath](2x-3y)^7[/inlmath] razvije, koliki je zbir koeficijenata?
Resenije glasi ovako
Ako u ovu jednakost stavimo [inlmath]x=1,\;y=1[/inlmath], dobijamo zbir koeficijenata
[dispmath]\sum_{k=0}^7(-1)^k{7\choose k}\cdot2^{7-k}3^k=(-1)^7=-1[/dispmath]
Konkretno me interesuje zasto je to tako ...mnogo je zbrzano ovo, kao da je preskocen neki deo postupka.
Ako bi bio neko voljan da izdetaljise ovo

Da bi ovo rješenje bilo dobro u zadatku se ne može tražiti zbir binomnih koeficijenata(što si stavio u naslovu) nego zbir kooeficijena koji stoje uz [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] u razvijenom obliku binoma.
Da se traži zbir binomnih koeficijenata to bi bilo
[dispmath]\sum_{k=0}^7{7\choose k}={7\choose0}+{7\choose1}+{7\choose2}+{7\choose3}+{7\choose4}+{7\choose5}+{7\choose6}+{7\choose7}=128[/dispmath]
a da bi izračuo sumu koeficijenata koji stoje uz [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] neophodno je izvršiti razvoj ovog binoma
[dispmath]\left(2x-3y\right)^7={7\choose0}(2x)^7+{7\choose1}\left(2x\right)^6\cdot\left(-3y\right)+{7\choose2}\left(2x\right)^5\cdot\left(-3y\right)^2+{7\choose3}\left(2x\right)^4\cdot\left(-3y\right)^3+\\
+{7\choose4}\left(2x\right)^3\cdot\left(-3y\right)^4+{7\choose5}\left(2x\right)^2\cdot\left(-3y\right)^5+{7\choose6}\left(2x\right)^1\cdot\left(-3y\right)^6+{7\choose7}\left(-3y\right)^7=\\\
\\\
=128\cdot x^7-1344\cdot x^6\cdot y+6048\cdot x^5\cdot y^2-15120\cdot x^4\cdot y^3+\\
+22680\cdot x^3\cdot y^4-20412\cdot x^2\cdot y^5+10206\cdot x\cdot y^6-2187\cdot y^7[/dispmath]
i sad sumiramo članove koji stoje uz [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath]
[dispmath]128-1344+6048-15120+22680-20412+10206-2187=-1[/dispmath]
a oni su uradili [inlmath]x=1,\;y=1[/inlmath] da se oslobode [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] pa da bude lakše za računati.
Mislim da se može uzeti, za zadatke gdje se traži suma koeficijenata uz [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] u razvijenom obliku binoma, smjena da je [inlmath]x=1,\;y=1[/inlmath], ali bih volio da još neko potvrdi ako može tako.

bole je napisao:Da bi ovo rješenje bilo dobro u zadatku se ne može tražiti zbir binomnih koeficijenata(što si stavio u naslovu) nego zbir kooeficijena koji stoje uz [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] u razvijenom obliku binoma.

Tako je, ispravio sam naslov teme.

JohnLocke je napisao:[dispmath]\sum_{k=0}^7(-1)^k{7\choose k}\cdot2^{7-k}3^k=(-1)^7=-1[/dispmath]
Konkretno me interesuje zasto je to tako ...mnogo je zbrzano ovo, kao da je preskocen neki deo postupka.

Ako te buni konkretno taj korak kada se iz [inlmath]\sum\limits_{k=0}^7(-1)^k{7\choose k}\cdot2^{7-k}3^k[/inlmath] dobije [inlmath]\left(-1\right)^7[/inlmath], to ide ovako:
[dispmath]\sum_{k=0}^7\left(-1\right)^k{7\choose k}\cdot2^{7-k}3^k=\sum_{k=0}^7{7\choose k}\cdot2^{7-k}\left(-3\right)^k=\left[2+\left(-3\right)\right]^7=\left(-1\right)^7=-1[/dispmath]
Dakle, u izrazu [inlmath]\sum\limits_{k=0}^7{7\choose k}\cdot2^{7-k}\left(-3\right)^k[/inlmath] prepoznali smo da je [inlmath]a=2,\;b=-3,\;n=7[/inlmath], pa primenili formulu za razvoj stepena binoma u obrnutom smeru,
[dispmath]\sum_{k=0}^n{n\choose k}a^{n-k}b^k=\left(a+b\right)^n[/dispmath]

bole je napisao:Mislim da se može uzeti, za zadatke gdje se traži suma koeficijenata uz [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] u razvijenom obliku binoma, smjena da je [inlmath]x=1,\;y=1[/inlmath], ali bih volio da još neko potvrdi ako može tako.

Upravo tako, jer se tada suma koeficijenata u razvoju svodi na samu vrednost stepenovanog binoma.
[dispmath]\left(2x-3y\right)^7\;\overset{x=1,\;y=1}{=\!=\!=\!=\!=\!=\!}\;\left(2\cdot1-3\cdot1\right)^7=\left(-1\right)^7=-1[/dispmath]
u opštem slučaju,
[dispmath]\left(ax+by\right)^n\;\overset{x=1,\;y=1}{=\!=\!=\!=\!=\!=\!}\;\left(a\cdot1+b\cdot1\right)^n=\left(a+b\right)^n[/dispmath]
što znači da će suma koeficijenata (ne binomnih, već koeficijenata uz [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath]) u razvoju [inlmath]\left(ax+by\right)^n[/inlmath] biti [inlmath]\left(a+b\right)^n[/inlmath].

Isprobajte s konkretnim vrednostima.

Kako je

Daniel je napisao:[dispmath]\sum_{k=0}^7\left(-1\right)^k{7\choose k}\cdot2^{7-k}3^k=\sum_{k=0}^7{7\choose k}\cdot2^{7-k}\left(-3\right)^k=\left[2+\left(-3\right)\right]^7=\left(-1\right)^7=-1[/dispmath]

zar to nije
[dispmath]2^{7-k}\left(-3\right)^k=\frac{2^7}{2^k}\cdot(-3)^k=2^7\cdot\left(-\frac{3}{2}\right)^k[/dispmath]

Jeste, al' šta time dobijaš?
Kako ćeš na taj način izračunati traženu sumu (osim da je razviješ pa sabiraš član po član)?
[dispmath]\sum_{k=0}^7{7\choose k}2^7\left(-\frac{3}{2}\right)^k=2^7\sum_{k=0}^7{7\choose k}\left(-\frac{3}{2}\right)^k[/dispmath]
i šta dalje?

Sada vidim da je samo objasnjen postupak iz knjige...

tj

Daniel je napisao:[dispmath]\sum_{k=0}^n{n\choose k}a^{n-k}b^k=\left(a+b\right)^n[/dispmath]

OK, može:
[dispmath]2^7\sum_{k=0}^7{7\choose k}1^{7-k}\left(-\frac{3}{2}\right)^k=2^7\left[1+\left(-\frac{3}{2}\right)\right]^7=2^7\left(-\frac{1}{2}\right)^7=\left(-1\right)^7\cdot\cancel{2^7}\cdot\frac{1}{\cancel{2^7}}=-1[/dispmath]
al' nepotrebno komplikovanje...

Daniel je napisao:[dispmath]\sum_{k=0}^7\left(-1\right)^k{7\choose k}\cdot2^{7-k}3^k=\sum_{k=0}^7{7\choose k}\cdot2^{7-k}\left(-3\right)^k=\left[2+\left(-3\right)\right]^7=\left(-1\right)^7=-1[/dispmath]

Mene je bunilo gde je iz eksponenta nestalo [inlmath]k[/inlmath]

Daniel je napisao:[dispmath]\sum_{k=0}^n{n\choose k}a^{n-k}b^k=\left(a+b\right)^n[/dispmath]

ali vidim da ako se iskoristi ova formula [inlmath]k[/inlmath] nije potreban, jel sam u pravu?

[inlmath]k[/inlmath] jeste potreban da bi mogla da se iskoristi ta formula. Ali nakon što tu formulu primenimo, [inlmath]k[/inlmath] nam više ne figuriše, jer nemamo više ni sumu koja ide po [inlmath]k[/inlmath].
Dakle, još jednom. Imam sumu [inlmath]\sum\limits_{k=0}^7{7\choose k}2^{7-k}\left(-3\right)^k[/inlmath]. Nju prepoznajem kao sumu [inlmath]\sum\limits_{k=0}^n{n\choose k}a^{n-k}b^k[/inlmath] kod koje je [inlmath]a=2[/inlmath], [inlmath]b=-3[/inlmath] i [inlmath]n=7[/inlmath]. A pošto znam da je [inlmath]\sum\limits_{k=0}^n{n\choose k}a^{n-k}b^k=\left(a+b\right)^n[/inlmath], to će biti, kad u tu jednakost uvrstim [inlmath]a=2[/inlmath], [inlmath]b=-3[/inlmath] i [inlmath]n=7[/inlmath],
[dispmath]\sum\limits_{k=0}^7{7\choose k}2^{7-k}\left(-3\right)^k=\left[2+\left(-3\right)\right]^7[/dispmath]