MATEMANIJA

Na koliko se razlicitih nacina od [inlmath]15[/inlmath] decaka i [inlmath]10[/inlmath] devojcica moze odabrati njih [inlmath]6[/inlmath] tako da medju njima bude [inlmath]2[/inlmath] decaka?

Resenje: Vidimo da od decaka treba izabrati [inlmath]2[/inlmath] sto se moze uraditi na
[dispmath]C_2^{15}={15\choose2}=\frac{15!}{2!\cdot13!}=\frac{15\cdot14}{2\cdot1}=105\mbox{ Nacina}[/dispmath]
od [inlmath]10[/inlmath] devojcica treba izabrati preostale [inlmath]4[/inlmath] osobe sto mozemo uraditi na [inlmath]4[/inlmath] nacina:
[dispmath]C_4^{10}={10\choose4}=\frac{10!}{4!\cdot6!}=\frac{10\cdot9\cdot8\cdot7}{4\cdot3\cdot2\cdot1}=210\mbox{ Nacina}[/dispmath]
Svaki izbor decaka moze da se kombinuje sa bilo kojim izborom devojcica tako da je trazeni broj izbora
[dispmath]C_2^{15}\cdot C_4^{10}=105\cdot210=22050[/dispmath]
Ovako je prikazano resenje u zbirci FTN-a,medjutim ja sam radio zadatak na malo drugaciji nacin i dobio sam skroz drugaciji rezultat

Od [inlmath]25[/inlmath] osoba([inlmath]15[/inlmath] decaka i [inlmath]10[/inlmath] devojcica)treba odabrati [inlmath]6[/inlmath] tako da medju njima bude [inlmath]2[/inlmath] decaka,odmah na pocetku sam odabrao [inlmath]2[/inlmath] nasumicna decaka(posto nije bitno koje cu decake odabrati,trazi se samo da budu decaci)
Sto znaci da sam imamo [inlmath]2[/inlmath] odabrana decaka i sa druge strane [inlmath]23[/inlmath] osobe([inlmath]13[/inlmath] decaka i [inlmath]10[/inlmath] devojcica) od kojih sada treba odabrati [inlmath]4[/inlmath] osobe.Smatram da je uslov zadatka da [inlmath]2[/inlmath] decaka uvek budu odabrana ispunjen,a ostale biram preko kombinacija
[dispmath]C_4^{23}=\frac{n!}{(n-k)!\cdot k!}=\frac{23!}{(23-4)!\cdot4!}=8855[/dispmath]
Ako moze neko da mi ukaze na gresku i gde razmisljam pogresno.Hvala

Ti si tekst zadatka protumačio na jedan način, a oni na drugi način.
Pri tome, i za tvoje i za njihovo tumačenje može se reći da je ispravno, budući da je rečenica vrlo neprecizno formulisana i može se shvatiti na oba načina:

Batonja je napisao:Na koliko se razlicitih nacina od [inlmath]15[/inlmath] decaka i [inlmath]10[/inlmath] devojcica moze odabrati njih [inlmath]6[/inlmath] tako da medju njima bude [inlmath]2[/inlmath] decaka?

Poslednji (boldovan) deo rečenice treba ili da glasi „bude tačno [inlmath]2[/inlmath] dečaka“ (to je onako kako su oni protumačili), ili da glasi „bude bar [inlmath]2[/inlmath] dečaka“ (to je onako kako si ti protumačio).

Za slučaj da se traži da u grupi bude tačno [inlmath]2[/inlmath] dečaka (znači, ne [inlmath]1[/inlmath], ne [inlmath]3[/inlmath], ne [inlmath]4[/inlmath], već tačno [inlmath]2[/inlmath]) pretpostavljam da ti je rešenje iz zbirke jasno (ako nije, naravno, slobodno pitaj).

Naravno, možemo, radi vežbe, uraditi zadatak i za taj drugi slučaj, da se tražilo da u grupi bude bar [inlmath]2[/inlmath] dečaka. Samo, ni u tom slučaju ti rešenje nije dobro. Da vidimo, za početak,

Batonja je napisao:Sto znaci da sam imamo [inlmath]2[/inlmath] odabrana decaka i sa druge strane [inlmath]23[/inlmath] osobe([inlmath]13[/inlmath] decaka i [inlmath]10[/inlmath] devojcica) od kojih sada treba odabrati [inlmath]4[/inlmath] osobe.Smatram da je uslov zadatka da [inlmath]2[/inlmath] decaka uvek budu odabrana ispunjen,a ostale biram preko kombinacija

na osnovu čega si zaključio ovo crveno?

Daniel je napisao:Naravno, možemo, radi vežbe, uraditi zadatak i za taj drugi slučaj, da se tražilo da u grupi bude bar [inlmath]2[/inlmath] dečaka. Samo, ni u tom slučaju ti rešenje nije dobro. Da vidimo, za početak,

Batonja je napisao:Sto znaci da sam imamo [inlmath]2[/inlmath] odabrana decaka i sa druge strane [inlmath]23[/inlmath] osobe([inlmath]13[/inlmath] decaka i [inlmath]10[/inlmath] devojcica) od kojih sada treba odabrati [inlmath]4[/inlmath] osobe.Smatram da je uslov zadatka da [inlmath]2[/inlmath] decaka uvek budu odabrana ispunjen,a ostale biram preko kombinacija

na osnovu čega si zaključio ovo crveno?

Mislim da vidim gde sam pogresio donekle od [inlmath]15[/inlmath] decaka biram [inlmath]2[/inlmath] prvo sto znaci kombinacije [inlmath]2.[/inlmath] klase od [inlmath]15[/inlmath] elemenata
[dispmath]C_2^{15}=\frac{15!}{(15-2)!\cdot2!}[/dispmath]
I kasnije to pomnozim sa brojem koji sam dobio kasnije kad sam birao [inlmath]4[/inlmath] clana od njih [inlmath]23[/inlmath]-oje

Nije pisalo ni bar niti tacno pa smatram da dolazi u obzir da svi izabranu budu decaci(svi izabrani ne mogu biti devojcice jer od njih [inlmath]6[/inlmath] u grupi mora biti [inlmath]2[/inlmath] decaka)i zato prvo biram [inlmath]2[/inlmath] decaka a kasnije od njih [inlmath]23[/inlmath] biram jos [inlmath]4[/inlmath] clana(ova [inlmath]4[/inlmath] clana mogu biti i decaci i devojcice zato ih svodim pod jedan "skup" u kom imam [inlmath]23[/inlmath] elementa).Kako je pravilno racunati ako ne pise ni bar ni tacno? Moguce da su oni smatrali da se nekako podrazumeva da zadatak trazi tacno [inlmath]2[/inlmath] decaka. Hvala na utrosenom vremenu

Izgleda da ja ne dobijam resenja kao iz zbirke:

Prvi slucaj:
Ako uzmemo u obzir da je broj decaka [inlmath]\ge2[/inlmath] odatle sledi da je ukupan broj kombinacija jednak
[inlmath]\enclose{box}{15}\;\enclose{box}{14}\;\enclose{box}{23}\;\enclose{box}{22}\;\enclose{box}{21}\;\enclose{box}{20}[/inlmath]
[inlmath]\Rightarrow[/inlmath] Ukupan broj kombinacija je jednak : [inlmath]15\cdot14\cdot23\cdot22\cdot21\cdot20=44629200[/inlmath]
Drugi slucaj:
Ako uzmemo u obzir da je broj decaka [inlmath]=2[/inlmath], odatle sledi da je ukupan broj kombinacija jednak
[inlmath]\enclose{box}{15}\;\enclose{box}{14}\;\enclose{box}{10}\;\enclose{box}{9}\;\enclose{box}{8}\;\enclose{box}{7}[/inlmath]
[inlmath]\Rightarrow[/inlmath] Ukupan broj kombinacija je jednak : [inlmath]15\cdot14\cdot10\cdot9\cdot8\cdot7=1058400[/inlmath]

Batonja je napisao:i zato prvo biram [inlmath]2[/inlmath] decaka a kasnije od njih [inlmath]23[/inlmath] biram jos [inlmath]4[/inlmath] clana(ova [inlmath]4[/inlmath] clana mogu biti i decaci i devojcice zato ih svodim pod jedan "skup" u kom imam [inlmath]23[/inlmath] elementa).

Pogrešno. A evo i zbog čega:
Posmatrajmo slučaj da si za ta prva dva dečaka izabrao Mirka i Slavka, a da si zatim od preostalih izabrao Micu, Cicu, Marka i Janka.
Međutim, istu ekipu ćeš dobiti i ako za prva dva dečaka izabereš Slavka i Janka, a od preostalih izabereš Micu, Cicu, Mirka i Marka.
Takođe, istu ekipu dobijaš i ako za prva dva dečaka izabereš Marka i Janka, a od preostalih izabereš Mirka, Slavka, Micu i Cicu.
I tako dalje...
Prema tome, tim svojim postupkom si jednu istu ekipu (Mirko, Slavko, Marko, Janko, Mica, Cica) računao više puta, umesto da je računaš samo jednom.

Umesto toga, zadatak možeš raditi na jedan od sledeća dva načina:

Prvi način je da izračunaš broj mogućnosti za sastavljanje ekipe od [inlmath]2[/inlmath] dečaka i [inlmath]4[/inlmath] devojčice, zatim broj mogućnosti sastavljanja ekipe od [inlmath]3[/inlmath] dečaka i [inlmath]3[/inlmath] devojčice... zatim [inlmath]4+2[/inlmath], pa [inlmath]5+1[/inlmath] i, na kraju, [inlmath]6+0[/inlmath] (tj. [inlmath]6[/inlmath] dečaka i nijedna devojčica). Zatim sabereš brojeve svih tih mogućnosti.

Drugi način (elegantniji) bio bi da prvo nađeš ukupan broj mogućnosti da od [inlmath]25[/inlmath] osoba izabereš njih [inlmath]6[/inlmath] (znači, bez ikakvih uslovljavanja u smislu broja dečaka ili devojčica), a zatim od tog broja oduzmeš broj mogućnosti u kojima nemaš nijednog dečaka i broj mogućnosti u kojima imaš tačno jednog dečaka. Ono što preostane biće broj mogućnosti u kojima imaš bar [inlmath]2[/inlmath] dečaka.

Batonja je napisao:Kako je pravilno racunati ako ne pise ni bar ni tacno? Moguce da su oni smatrali da se nekako podrazumeva da zadatak trazi tacno [inlmath]2[/inlmath] decaka.

Ako ne piše ni bar ni tačno, tada imaš puno pravo da se žališ na dvosmislenost i nedorečenost teksta zadatka i da tražiš dodatno pojašnjenje.
Mada sam prilično siguran da ti tako neprecizan tekst ne može doći na ispitu, budući da se tekstovi ispitnih zadataka dobro proveravaju pre nego što se zadaju studentima.

Herien Wolf je napisao:Prvi slucaj:
Ako uzmemo u obzir da je broj decaka [inlmath]\ge2[/inlmath] odatle sledi da je ukupan broj kombinacija jednak
[inlmath]\enclose{box}{15}\;\enclose{box}{14}\;\enclose{box}{23}\;\enclose{box}{22}\;\enclose{box}{21}\;\enclose{box}{20}[/inlmath]
[inlmath]\Rightarrow[/inlmath] Ukupan broj kombinacija je jednak : [inlmath]15\cdot14\cdot23\cdot22\cdot21\cdot20=44629200[/inlmath]

Osim greške za koju upravo rekoh Batonji, a što si potom, kako si mi rekao preko PP-a, i sâm uočio, ovde imaš i dodatnu grešku što si, umesto kao kombinacije, ovo računao kao varijacije.

Kao prvo, siguran sam da je rešenje iz zbirke tačno.
Kao drugo, siguran sam da svi autori podrazumevaju dva elementa kada kažu samo dva ili ma koliko god elemenata i to se ne mora naglasiti. Mora se naglasiti bar dva ili ma koliko njih.
Još jednom, ako nisam bio dovoljno jasan: tačno dva se podrazumeva, bar dva se mora naglasiti.
Kao treće, ovo je tipična hipergeometrijska raspodela što se može videti u ovoj temi.
Jeste u linkovanoj temi razmatrana verovatnoća, no kombinatorika je po meni sluškinja verovatnoće.
I matematičke statistike.

desideri je napisao:Još jednom, ako nisam bio dovoljno jasan: tačno dva se podrazumeva, bar dva se mora naglasiti.

Kad bih ti postavio pitanje:
Da li su među članovima Bitlsa bila dva muška člana?
kako bi glasio tvoj odgovor – da ili ne?

Ovo tvoje pitanje je pre za jedan drugi potforum.
Imali smo takvih doskočica.
Ne postoji ispitni zadatak (a video sam ih na stotine na ovu temu, rešenih od strane autora zbirki) gde se ne smatra tačno [inlmath]k[/inlmath] kada se kaže [inlmath]k[/inlmath]. Mada je reč "tačno" zapravo suvišna. Tako je i u kombinatorici i u verovatnoći.
Tako svi profesori koje ja znam predaju.
Evo ipak da odgovorim na tvoje pitanje: da.

Ali to uopšte nije isto kao broj načina da se od četiri člana odaberu dva.
A ovde, u ovom zadatku, osobe se biraju, nije bilo pitanje: Da li ima dva dečaka u toj grupi dece?

Pozivam se i na ovog autora.
Posebno na definiciju kombinacija bez ponavljanja.

Da je bilo pitanje: Da li su među članovima Bitlsa bila tačno dva muška člana?
Onda je odgovor ne.
Da je bilo pitanje: Da li su među članovima Bitlsa bila bar dva muška člana?
Onda je odgovor da.
Ovo možda liči da je kontradiktorno u odnosu na moje osnovno tvrđenje ali nije jer, ponavljam, osobe se biraju.

Podrazumevati "bar" kada se ta reč ne napiše u zadatku ovog tipa (ne zadatku s Bitlsima, već ovom koji se razmatra u temi) dobar je način, ali da se padne na ispitu.
Jasno mi je na šta se ovde misli i zašto su u ovoj temi mišljenja podeljena.
Tj. ja mislim da je ovako kako pišem, a svi ostali izgleda suprotno.

Eto ja imam bar dva valjana razloga da se "bar" ne podrazumeva.
Prvi je što bi pale u vodu postavke autora od Laplasa naovamo, recimo za hipergeometrijsku raspodelu.
Drugi je pragmatičan jer treba položiti ispit, zar ne?
p.s. "Bar" se dosta koristi u zadacima, npr. suprotno od "bar jedan" je "nijedan" i to je sasvim ok.
Zašto bi autori zadataka nekada naglašavali a nekada podrazumevali "bar"?
Morao bih se ipak složiti da je zadatak malo nespretno formulisan.

desideri je napisao:Ne postoji ispitni zadatak (a video sam ih na stotine na ovu temu, rešenih od strane autora zbirki) gde se ne smatra tačno [inlmath]k[/inlmath] kada se kaže [inlmath]k[/inlmath]. Mada je reč "tačno" zapravo suvišna. Tako je i u kombinatorici i u verovatnoći.

Možda nije na ispitu, ali je sa PMF-a u Nišu:
http://nasport.pmf.ni.ac.rs/materijali/ ... rincip.pdf
U 4. zadatku se kaže

PMF u Nišu je napisao:4. Neka je [inlmath]n[/inlmath] prirodan broj i [inlmath]S=\left\{1,2,\ldots,2n\right\}[/inlmath]. Dokazati da u svakom podskupu od [inlmath]n+1[/inlmath] elemenata skupa [inlmath]S[/inlmath] postoje dva broja koja su uzajamno prosta.

Kada bih u poslednoj rečenici podrazumevao reč tačno, tj. kada bi poslednja rečenica glasila Dokazati da u svakom podskupu od [inlmath]n+1[/inlmath] elemenata skupa [inlmath]S[/inlmath] postoje tačno dva broja koja su uzajamno prosta, tada ne bih mogao da dokažem to tvrđenje, jer bih, naprotiv, prostim kontraprimerom u kojem postoji više od dva uzajamno prosta broja, dokazao da ovo tvrđenje ne važi.
Dok je, recimo, u 7. zadatku sasvim korektno upotrebljena i reč bar i reč tačno.

Ali, mislim da shvatam u čemu nastaje nesporazum. Ti misliš na konstrukciju birati [inlmath]k[/inlmath] nečega, i sasvim se slažem da bi u takvoj konstrukciji reč tačno bila suvišna i da se podrazumeva. Naravno da bi bilo i smešno i nepotrebno da sam u svom pomenutom tutorijalu o kombinacijama bez ponavljanja napisao da od [inlmath]n[/inlmath] elemenata biramo tačno [inlmath]k[/inlmath] elemenata.
Međutim, obrati pažnju na tekst ovog, Batonjinog zadatka.
Tekst ovog zadatka ne glasi da od [inlmath]6[/inlmath] osoba biramo [inlmath]2[/inlmath] dečaka (u tom slučaju bilo bi jasno da biramo tačno [inlmath]2[/inlmath] dečaka), već glasi da biramo [inlmath]6[/inlmath] osoba tako da među njima bude [inlmath]2[/inlmath] dečaka.
E, ovo bude [inlmath]2[/inlmath] dečaka je vrlo neprecizno jer se može shvatiti i kao bude bar [inlmath]2[/inlmath] dečaka, i kao bude tačno [inlmath]2[/inlmath] dečaka. O tome ja govorim.

desideri je napisao:Zašto bi autori zadataka nekada naglašavali a nekada podrazumevali "bar"?

Iz istog razloga zbog kojeg neki autori naglašavaju da nula ne pripada skupu [inlmath]\mathbb{N}[/inlmath] (jer neki drugi autori smatraju da pripada), a neki autori ne naglašavaju jer podrazumevaju da (ne) pripada...
Iz istog razloga zbog kojeg neki autori naglašavaju da je funkcija konveksna/konkavna odozdo (jer neki drugi autori smatraju da se konveksnost/konkavnost posmatra odozgo), a neki autori ne naglašavaju jer podrazumevaju da se posmatra odozdo/odozgo...
Uvek kad su u pitanju takve nedoslednosti u matematici, oko kojih konvencijom nije usvojeno tačno određeno tumačenje, moralo bi se u tekstu zadatka tačno naglasiti na šta se misli.

desideri je napisao:Morao bih se ipak složiti da je zadatak malo nespretno formulisan.

U tome se definitivno slažemo.

Ma ja sada mislim Daniel da se definitivno slažemo u svemu oko ove teme.
A i inače u vezi s matematikom
Jeste nesporazum.

Još te jedino Daniel molim da odgovoriš na ovo:
Pošto mi je besmisleno da dalje u ovoj temi citiram samog sebe ili da linkujem ka svojim tutorijalima (a i da korisnici ne pomisle da sebe zamišljam kao nekakvog autora, daleko bilo), nakucaću opet ono iz te teme gde je obrađena hipergeometrijska raspodela na čemu uporno insistiram. I za tu temu sam koristio baš prave izvore uz ono što sam pre znao. Ma navešću i izvore, no Laplasa ne mogu zvati za svedoka iz opravdanih razloga.
Elem:
Ako se iz urne koja sadrži [inlmath]M[/inlmath] belih i [inlmath]N−M[/inlmath] crnih kuglica izvuče bez vraćanja [inlmath]n[/inlmath] kuglica onda slučajna promenljiva [inlmath]X[/inlmath] predstavlja broj belih kuglica u tih [inlmath]n[/inlmath] izvučenih. Očigledno je da se ovde radi o kombinacijama bez ponavljanja tako da je zakon raspodele slučajne promenljive [inlmath]X[/inlmath]:
[dispmath]P(X=x)=\frac{{M\choose x}{N-M\choose n-x}}{N\choose n}\quad x=0,1,2,\ldots,\min(M,n)[/dispmath]
Zar ovo nije isto kao zadatak iz ove teme, zar nije?
Naravno ako se gleda samo brojilac.
Brojilac = kombinatorika
Imenilac = kombinatorika
Brojilac kroz imenilac = verovatnoća.

desideri je napisao:Zar ovo nije isto kao zadatak iz ove teme, zar nije?

Jeste isto kao taj zadatak, to niko ne spori.