MATEMANIJA

Ako je
[dispmath]a={2012\choose1004},\;b={2012\choose1006},\;c={2012\choose1007}[/dispmath]
onda je
[dispmath]a<c<b[/dispmath]
(tako mi stoji u resenju), ali kako kada po logici bi trebalo
[dispmath]c<b<a[/dispmath]

Binomni koeficijent:
[dispmath]n\choose k[/dispmath]
kada je [inlmath]n[/inlmath] parno dostiže maksimum za [inlmath]k=\frac{n}{2}[/inlmath].
Naime, on raste počev od [inlmath]k=0[/inlmath] sve do [inlmath]k=\frac{n}{2}[/inlmath] a potom opada.
Tako da je meni rešenje iz zbirke baš logično.
Tehnički bi se ovo rešilo nameštanjem, uz osobine faktorijela. Na primer:
[dispmath]c={2012\choose1007}=\frac{2012!}{1007!1005!}=\frac{2012!}{1006!1006!}\cdot\frac{1006}{1007}<{2012\choose1006}[/dispmath]
Na isti način se pokazuje da je [inlmath]a<c[/inlmath] i gotovo.
Imali smo na forumu jedan sličan zadatak koji je nešto opštiji od ovog.

Nisam znao kada [inlmath]n\choose k[/inlmath] ima maksimum, pa i da raste od [inlmath]k=0[/inlmath]
hvala lepo

desideri je napisao:kada je [inlmath]n[/inlmath] parno dostiže maksimum za [inlmath]k=\frac{n}{2}[/inlmath].
Naime, on raste počev od [inlmath]k=0[/inlmath] sve do [inlmath]k=\frac{n}{2}[/inlmath] a potom opada.

I taj rast i opadanje su međusobno simetrični u odnosu na maksimum [inlmath]k=\frac{n}{2}[/inlmath]. To je posledica osobine binomnog koeficijenta [inlmath]{n\choose k}={n\choose n-k}[/inlmath].

Inače, @JohnLocke, iako ti ne treba u ovom zadatku, čisto da znaš – kada je [inlmath]n[/inlmath] neparno, tada binomni koeficijent [inlmath]n\choose k[/inlmath] dostiže maksimum za dve uzastopne vrendnosti [inlmath]k[/inlmath] – to su vrednosti [inlmath]k=\frac{n-1}{2}[/inlmath] i [inlmath]k=\frac{n+1}{2}[/inlmath].

JohnLocke je napisao:Nisam znao kada [inlmath]n\choose k[/inlmath] ima maksimum, pa i da raste od [inlmath]k=0[/inlmath]

Pa, neke od tih primera sigurno znaš:
Za [inlmath]n=2[/inlmath],
[dispmath]\left(a+b\right)^2=\sum_{k=0}^2{2\choose k}a^{2-k}b^k={2\choose0}a^2+{2\choose1}ab+{2\choose2}b^2[/dispmath]
Sad, ako to uporediš s poznatom formulom za kvadrat zbira,
[dispmath]\left(a+b\right)^2=a^2+2ab+b^2[/dispmath]
dolaziš do toga da je [inlmath]{2\choose0}=1,\;{2\choose1}=2,\;{2\choose2}=1[/inlmath].
Tačno se vidi da se maksimum dobija za [inlmath]k=1[/inlmath], a to odgovara [inlmath]k=\frac{n}{2}[/inlmath] (jer je [inlmath]n=2[/inlmath], pa se maksimum dobije za [inlmath]k=\frac{2}{2}=1[/inlmath]).

Ili, [inlmath]n=3[/inlmath]:
[dispmath]\left(a+b\right)^3=\sum_{k=0}^3{3\choose k}a^{3-k}b^k={3\choose0}a^3+{3\choose1}a^2b+{3\choose2}ab^2+{3\choose3}b^3[/dispmath]
Uporedimo to s poznatom formulom za kub zbira,
[dispmath]\left(a+b\right)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3[/dispmath]
i vidimo odatle da je [inlmath]{3\choose0}=1,\;{3\choose1}=3,\;{3\choose2}=3,\;{3\choose3}=1[/inlmath].
Dakle, ovde imamo dva maksimuma, za [inlmath]k=1[/inlmath] i za [inlmath]k=2[/inlmath]. Što je u skladu s onim što malopre rekoh, da se maksimumi dobijaju za [inlmath]k=\frac{n-1}{2}[/inlmath] i [inlmath]k=\frac{n+1}{2}[/inlmath], jer kad uvrstimo [inlmath]n=3[/inlmath], dobijemo upravo [inlmath]k=1[/inlmath] i [inlmath]k=2[/inlmath].

Da ali sta ako ovako postavimo:

JohnLocke je napisao:Ako je
[dispmath]a={2012\choose1004},\;b={2012\choose1006},\;c={2012\choose1007}[/dispmath]

[dispmath]a={2012\choose1008},\;b={2012\choose1006},\;c={2012\choose1005}[/dispmath]
onda ne vazi

desideri je napisao:kada je [inlmath]n[/inlmath] parno dostiže maksimum za [inlmath]k=\frac{n}{2}[/inlmath].
Naime, on raste počev od [inlmath]k=0[/inlmath] sve do [inlmath]k=\frac{n}{2}[/inlmath] a potom opada.

a kako dostize maksimum u [inlmath]k=\frac{n}{2}[/inlmath], zar onda ne bi trebalo da je [inlmath]b[/inlmath] najvece?

jedino ako sve [inlmath]k[/inlmath] napisemo sa jedne strane polovine ali opet po

desideri je napisao:kada je [inlmath]n[/inlmath] parno dostiže maksimum za [inlmath]k=\frac{n}{2}[/inlmath].

trebalo bi da je u [inlmath]k=\frac{n}{2}[/inlmath] najvece

U potpunosti je svejedno kako zapišeš, [inlmath]b[/inlmath] je svakako najveće kao što je već navedeno u rešenju [inlmath]a<c<b[/inlmath]

JohnLocke je napisao:Ako je [inlmath]a={2012\choose1004},\;b={2012\choose1006},\;c={2012\choose1007}[/inlmath]
onda je [inlmath]a<c<b[/inlmath]
(tako mi stoji u resenju)

o.O
Sve vreme uzimam da je receno da je resenje

JohnLocke je napisao:
[dispmath]c<b<a[/dispmath]