MATEMANIJA

Na polici se nalazi [inlmath]15[/inlmath] knjiga. Na koliko se načina mogu izabrati [inlmath]6[/inlmath] od njih, tako da nijedne dvije od izabranih nisu jedna do druge ?

Rješenje: Sličan je zadatku kad imam [inlmath]9[/inlmath] crnih kuglica poređanih u niz i [inlmath]6[/inlmath] bijelih koji se razmještaju tako da svaka bude između dvije crne ili na nekom od krajeva. Npr. [inlmath]BCCBCCBCBCCCBCB[/inlmath]. U ovom slučaju izabrane su [inlmath]1.[/inlmath], [inlmath]4.[/inlmath], [inlmath]7.[/inlmath], [inlmath]9.[/inlmath], [inlmath]13.[/inlmath] i [inlmath]15.[/inlmath] knjiga tj. ima ih [inlmath]6[/inlmath].
E sad meni nije jasno kako mjesta na koje se bijele kuglice mogu postaviti ima deset ? Jer sam pogledala u rješenje i nastavak rješenja glasi ovako: Budući da mjesta na koje se bijele kuglice mogu postaviti ima [inlmath]10[/inlmath], traženi broj razmještaja je
[dispmath]10\choose6[/dispmath]

Iskreno nije mi bas najjasnija postavka zadatka. Deluje malo nedoreceno.

Nikolinaa je napisao:Na koliko se načina mogu izabrati [inlmath]6[/inlmath] od njih, tako da nijedne dvije od izabranih nisu jedna do druge

Biramo [inlmath]6[/inlmath] knjiga a da nijedne dve nisu jedna do druge ?
Na ovo bi bio odgovor, odmakni ih malo
Salu na stranu, nigde nije navedeno da su odredjene knjige razlicite/identicne na neki nacin.

Pa ne znam.. Tako je u zbirci za prijemni ni meni nije baš najjasnija postavka a ni odakle ovih [inlmath]10[/inlmath] mjesta na koje se mogu staviti bijele kugluce tj. ove knjige koje sam izabrala njih [inlmath]6[/inlmath]

Herien Wolf je napisao:Iskreno nije mi bas najjasnija postavka zadatka. Deluje malo nedoreceno.

Nikolinaa je napisao:Na koliko se načina mogu izabrati [inlmath]6[/inlmath] od njih, tako da nijedne dvije od izabranih nisu jedna do druge

Biramo [inlmath]6[/inlmath] knjiga a da nijedne dve nisu jedna do druge ?
Na ovo bi bio odgovor, odmakni ih malo

Pa mi biramo knjige sa police, ne slazemo ih na policu pa da je nejasno kako ne mogu biti dve jedna do druge. Dakle, ne mozemo skinuti sa police knjigu do knjige koju smo vec skinuli. To je susitna. Kad kazem skinuti mislim na izabrati (ali je mozda lakse za shvatanje). Tako sam ja bar ukapirao.

Nikolinaa je napisao:E sad meni nije jasno kako mjesta na koje se bijele kuglice mogu postaviti ima deset ? Jer sam pogledala u rješenje i nastavak rješenja glasi ovako: Budući da mjesta na koje se bijele kuglice mogu postaviti ima [inlmath]10[/inlmath], traženi broj razmještaja je
[dispmath]10\choose6[/dispmath]

Dakle, imamo [inlmath]9[/inlmath] crnih kuglica.
[inlmath]1.[/inlmath] mesto na koje možemo postaviti belu kuglicu jeste pre [inlmath]1.[/inlmath] crne kuglice;
[inlmath]2.[/inlmath] mesto na koje možemo postaviti belu kuglicu jeste između [inlmath]1.[/inlmath] i [inlmath]2.[/inlmath] crne kuglice;
[inlmath]3.[/inlmath] mesto na koje možemo postaviti belu kuglicu jeste između [inlmath]2.[/inlmath] i [inlmath]3.[/inlmath] crne kuglice;
[inlmath]4.[/inlmath] mesto na koje možemo postaviti belu kuglicu jeste između [inlmath]3.[/inlmath] i [inlmath]4.[/inlmath] crne kuglice;
[inlmath]\vdots[/inlmath]
[inlmath]8.[/inlmath] mesto na koje možemo postaviti belu kuglicu jeste između [inlmath]7.[/inlmath] i [inlmath]8.[/inlmath] crne kuglice;
[inlmath]9.[/inlmath] mesto na koje možemo postaviti belu kuglicu jeste između [inlmath]8.[/inlmath] i [inlmath]9.[/inlmath] crne kuglice;
[inlmath]10.[/inlmath] mesto na koje možemo postaviti belu kuglicu jeste nakon [inlmath]9.[/inlmath] crne kuglice.

Dakle, ukupno [inlmath]10[/inlmath] mesta.

E sad, od tih [inlmath]10[/inlmath] mesta biraš onih [inlmath]6[/inlmath] mesta na koja ćeš da rasporediš [inlmath]6[/inlmath] belih kuglica. Kao što rekoše u rešenju, to su kombinacije bez ponavljanja od [inlmath]10[/inlmath] elemenata [inlmath]6.[/inlmath] klase, čiji je broj [inlmath]10\choose6[/inlmath].

Analogija između knjiga na polici i crnih i belih kuglica je sledeća:
Crne kuglice [inlmath]\longleftrightarrow[/inlmath] knjige koje nisi izabrala;
Bele kuglice [inlmath]\longleftrightarrow[/inlmath] knjige koje si izabrala.

Time što je rečeno da se svaka bela kuglica sme nalaziti ili pre prve crne kuglice, ili između dve crne kuglice, ili nakon poslednje crne kuglice, obezbeđeno je da se ne mogu nalaziti dve bele kuglice jedna do druge. To, analogno, odgovara situaciji u kojoj se dve izabrane knjige s police ne mogu nalaziti jedna do druge.

Hvala puno na rješenju