MATEMANIJA

Zbir binomnih koeficijenata na neparnim mestima u razvoju [inlmath]\left(\sqrt5-\sqrt[3]3\right)^n[/inlmath] je [inlmath]2^{2005}[/inlmath]. Broj clanova koji su racionalni brojevi je:
I sad ja ovo radim na sledeci nacin
Prvo primenim formulu za zbir [inlmath]2^n[/inlmath] i onda mi je [inlmath]n=2005[/inlmath]
zatim binomna formula
[dispmath]A_{k+1}={2005\choose k}\cdot5^{\frac{2005-k}{2}}\cdot3^{\frac{k}{3}}[/dispmath]
i iz ovoga zakljucujem da bi [inlmath]2005[/inlmath] trebalo bit deljivo sa [inlmath]6[/inlmath]
Sledece:
[dispmath]2005:6=334,16666\ldots[/dispmath]
Odnosno po mojoj logici to je broj racionalnih clanova i samo jos plus [inlmath]0[/inlmath]. Dakle broj clanova koji su racionlni brojevi je
[dispmath]334+1=335[/dispmath]
Molim za korekciju postupka
P.S. znam da je bilo dosta zadataka iz binomne formule i znam da sam i sam postavljao ali ajmo da resimo ovo na konkretnom primeru ako nije problem

Suma svih binomnih koeficijenata u razvoju iznosi [inlmath]2^n[/inlmath]. Tebi je u zadatku data suma binomnih koeficijenata koji se nalaze na neparnim mestima. Ti si napravio gresku jer si sumu binomnih koeficijenata koji se nalaze na neparnim mestima poistovetio sumom svih binomnih koeficijenata [inlmath]2^n[/inlmath]. Ne znam da li ti je poznato ovo pravilo : Suma binomnih koeficijenata na neparnim mestima u razvoju binoma jednaka je sumi binomnih koeficijenata na parnim mestima
[inlmath]\Rightarrow\;2^n=2^{2005}+2^{2005}=2^{2006}[/inlmath] Iz ovoga se dobija da je [inlmath]n=2006[/inlmath].


Sto se tice broja racionalnih clanova, prvo izrazimo opsti clan [inlmath]T_{k+1}={2006\choose k}\cdot5^{\frac{2006-k}{2}}\cdot3^{\frac{k}{3}}[/inlmath]
Da bi ponistili [inlmath]\sqrt[3]3[/inlmath] i [inlmath]\sqrt[2]5[/inlmath] moramo imati stepen deljiv sa [inlmath]6[/inlmath]. Broj stepena deljivih sa [inlmath]6[/inlmath] je jednak [inlmath]2006:6=334+0.333\ldots[/inlmath]. Unutar ovog razvoja postoji [inlmath]334[/inlmath] stepena deljivih sa [inlmath]6[/inlmath] koji imaju osobinu da poniste [inlmath]\sqrt[3]3[/inlmath] i [inlmath]\sqrt[2]5[/inlmath]. Ali da bi se ponistio prvi clan [inlmath]T_0={2006\choose0}\sqrt5^{2006}[/inlmath] i poslednji clan [inlmath]T_{2006}={2006\choose0}\sqrt[3]3^{2006}[/inlmath] moramo ih ispisati i proveriti da li su racionalni. Prvi clan ce takodje biti racionalan jer je [inlmath]2006:2=1003[/inlmath] , dok poslednji clan ostaje iracionalan jer [inlmath]2006[/inlmath] nije deljivo sa [inlmath]3[/inlmath] bez ostatka tako da je poslednji clan iracionalan broj.
[inlmath]\Rightarrow[/inlmath] Ukupan broj racionalnih clanova je [inlmath]334+1=335[/inlmath]

Ne moze se dodati tek tako prvi clan, tj. [inlmath]T_0[/inlmath] jer u nekim zadacima [inlmath]T_0[/inlmath] i [inlmath]T_n[/inlmath] mogu biti iracionalni brojevi.

Herien Wolf je napisao:Ne znam da li ti je poznato ovo pravilo : Suma binomnih koeficijenata na neparnim mestima u razvoju binoma jednaka je sumi binomnih koeficijenata na parnim mestima

Ovde se može videti i zbog čega je to tako.