MATEMANIJA

Koriscenjem cifara [inlmath]2,3,4,5,7[/inlmath] napisani su svi petocifreni brojevi u kojima se cifre ne ponavljaju. Zbir takvih brojeva je?
Ja sam probao ovako:
[dispmath](2+3+4+5+7)\cdot10^5+(2+3+4+5+7)\cdot10^4+\cdots+(2+3+4+5+7)\cdot10^1[/dispmath]
Medjutim, nije tacno, zbog toga sto se cifre ne smeju ponavljati, sto je nekako intuitivno jasno, ali ono sto meni nije jasno je kako da procenimo zbirove za svaku cifru pojedinacno, [inlmath]S1,S2,S3,S4,S5[/inlmath] jer bi onda bilo lagano, neka je [inlmath]S[/inlmath] trazeni zbir:
[dispmath]S=S1\cdot10^5+S2\cdot10^4+\cdots+S5\cdot10^1[/dispmath]
Ne znam tacno resenje zadatka, jer je test te godine bio na zaokruzivanje i dati su intervali, pa znam da je trazeni zbir reda velicine [inlmath]5,6\cdot10^5[/inlmath].
Hvala unapred

Posmatraj koliko ima brojeva kod kojih se [inlmath]2[/inlmath] pojavljuje na prvom mestu. Takvih brojeva ima onoliko koliko ima načina na koje možemo rasporediti preostale [inlmath]4[/inlmath] cifre, a broj takvih načina je [inlmath]4![/inlmath]. Znači, [inlmath]4![/inlmath] brojeva kod kojih će [inlmath]2[/inlmath] biti na prvom mestu. Jasno je da će biti isto toliko brojeva kod kojih je [inlmath]3[/inlmath] na prvom mestu, isto toliko brojeva kod kojih je [inlmath]4[/inlmath] na prvom mestu itd.
Ako bismo sabrali sve cifre koje se nalaze kod svih ovakvih brojeva na prvom mestu, dobili bismo, dakle, [inlmath]4!\cdot2+4!\cdot3+4!\cdot4+4!\cdot5+4!\cdot7[/inlmath]. To jest, [inlmath]4!(2+3+5+4+7)[/inlmath].
Naravno, kasnije će taj zbir biti potrebno pomnožiti još sa [inlmath]10^4[/inlmath], zbog težinskog mesta tih cifara.

Naravno, sve to važi i za bilo koju poziciju unutar petocifrenog broja. Znači, imaćemo [inlmath]4![/inlmath] brojeva kod kojih je [inlmath]2[/inlmath] na drugom mestu, [inlmath]4![/inlmath] brojeva kod kojih je [inlmath]3[/inlmath] na drugom mestu itd. itd.
Samo što sad tu sumu množimo sa [inlmath]10^3[/inlmath].

Bi li umeo sad da izvedeš izraz za traženi zbir?

Gekko je napisao:[dispmath](2+3+4+5+7)\cdot10^5+(2+3+4+5+7)\cdot10^4+\cdots+(2+3+4+5+7)\cdot10^{\color{red}1}[/dispmath]

Gekko je napisao:[dispmath]S=S1\cdot10^5+S2\cdot10^4+\cdots+S5\cdot10^{\color{red}1}[/dispmath]

Vodi računa da u poslednjem sabirku treba da imaš [inlmath]10^0[/inlmath], a ne [inlmath]10^1[/inlmath].

Gekko je napisao:Ne znam tacno resenje zadatka, jer je test te godine bio na zaokruzivanje i dati su intervali, pa znam da je trazeni zbir reda velicine [inlmath]5,6\cdot10^5[/inlmath].

Zapravo, deset puta veći. Traženi zbir je [inlmath]5599944[/inlmath], tj. približno [inlmath]5,6\cdot10^6[/inlmath].

Imao sam danas test iz kombinatorike i bas se pogodilo da sam imao ovaj zadatak, iako sam probao da ga uradim juce.
Udubio sam se i skapirao poentu, bas ovo sto si ti rekao, da trazeni zbir treba mnoziti sa [inlmath]4!=24[/inlmath].
Na srecu, na testu sam dobio isto resenje kao i ti, pa valjda je dobro...
Izvinjavam se za lapsuse tipa [inlmath]5,6\cdot10^5[/inlmath] umesto [inlmath]10^6[/inlmath] i [inlmath]S1\cdot10^0[/inlmath]
prosto ne znam sta mi bi...
I hvala

Super, baš mi je drago da ti je forum bio od pomoći.
Ajmo da malo uopštimo ovaj zadatak, što da ne. Pretpostavimo da treba sastaviti sve [inlmath]n[/inlmath]-tocifrene brojeve ([inlmath]n\le10[/inlmath]) od datih cifara [inlmath]a_1,a_2,\ldots,a_n[/inlmath], pri čemu se cifre ne ponavljaju.

Broj takvih [inlmath]n[/inlmath]-tocifrenih brojeva kod kojih se cifra [inlmath]a_k[/inlmath] pojavljuje na prvom mestu jednak je broju permutacija ostalih [inlmath](n-1)[/inlmath] cifara, a taj broj iznosi [inlmath](n-1)![/inlmath]. To isto važi i za svaku od ostalih cifara. Vrednost tih cifara pri sabiranju iznosi [inlmath](n-1)!\cdot10^{n-1}[/inlmath], budući da se nalaze na težinskom mestu [inlmath]10^{n-1}[/inlmath]. Pošto to važi za sve cifre od [inlmath]a_1[/inlmath] do [inlmath]a_n[/inlmath], ukupno njihovo učešće u traženom zbiru biće [inlmath](a_1+a_2+\cdots+a_n)(n-1)!\cdot10^{n-1}[/inlmath].

Slično i za cifre koje se nalaze na ostalim težinskim mestima, samo što ćemo kod njih ovaj faktor [inlmath]10^{n-1}[/inlmath] zameniti sa [inlmath]10^{n-2}[/inlmath], [inlmath]10^{n-3}[/inlmath] itd. do [inlmath]10^0[/inlmath].

Prema tome, dobijamo
[dispmath]S=(a_1+a_2+\cdots+a_n)(n-1)!\cdot10^{n-1}+(a_1+a_2+\cdots+a_n)(n-1)!\cdot10^{n-2}+\cdots+(a_1+a_2+\cdots+a_n)(n-1)!\cdot10^0[/dispmath][dispmath]S=(a_1+a_2+\cdots+a_n)(n-1)!\left(10^{n-1}+10^{n-2}+\cdots+10^0\right)[/dispmath]
Faktor [inlmath]\left(10^{n-1}+10^{n-2}+\cdots+10^0\right)[/inlmath] možemo naći i preko sume geometrijskog niza, mada je intuitivno jasno da je to [inlmath]\underbrace{10\cdots0}_{n\text{ cifara}}+\cdots+100+10+1=\underbrace{11\cdots1}_{n\text{ jedinica}}[/inlmath]:
[dispmath]\enclose{box}{S=(a_1+a_2+\cdots+a_n)(n-1)!\cdot\underbrace{11\cdots1}_{n\text{ cifara}}}[/dispmath]