MATEMANIJA

Na koliko nacina mozemo u vrstu poredjati [inlmath]5[/inlmath] tenisera i [inlmath]3[/inlmath] teniserke tako da nikoje dve teniserke ne budu susedne?
Ovde se ne zna sta je gore, da li brojati povoljne slucajeve ili nepovoljne, u svakom slucaju dobio sam da je ukupan broj nacina na koje mozemo teniserke da razmestimo jednak [inlmath]6\cdot7\cdot8[/inlmath], dalje ni da mrdnem, a znam da ima neka fora kako da se odrede ovi nepovoljni slucajevi, al se ne secam
Hvala unapred

Označimo tenisere sa [inlmath]M[/inlmath], a teniserke sa [inlmath]F[/inlmath].
Možeš raditi tako što ćeš od ukupnog broja mogućih rasporeda oduzeti broj onih rasporeda kod kojih se sve tri teniserke nalaze jedna do druge (kao npr. [inlmath]MMFFFMMM[/inlmath]), i broj onih rasporeda kod kojih se dve teniserke nalaze jedna do druge dok je treća odvojena od njih (kao npr. [inlmath]MMFFMMFM[/inlmath]).

• Ukupan broj mogućih rasporeda se, naravno, računa kao broj permutacija bez ponavljanja;
• Broj onih rasporeda kod kojih se sve tri teniserke nalaze jedna do druge računaš tako što [inlmath]FFF[/inlmath] prvo posmatraš kao jedan element i uočiš na koliko se načina on može pozicionirati. Zatim to pomnožiš brojem permutacija od [inlmath]3[/inlmath] elementa (jer se te [inlmath]3[/inlmath] teniserke međusobno razlikuju), a zatim sa [inlmath]5![/inlmath] (jer se i [inlmath]5[/inlmath] tenisera, koji su raspoređeni oko niza [inlmath]FFF[/inlmath], međusobno razlikuju).
• Broj onih rasporeda kod kojih se dve teniserke nalaze jedna do druge dok je treća odvojena od njih, računaš tako što sada [inlmath]FF[/inlmath] prvo posmatraš kao jedan element i razlikuješ dva podslučaja:
  – Kada se [inlmath]FF[/inlmath] nalazi na samom početku ili na samom kraju niza, za treću teniserku preostaje [inlmath]5[/inlmath] mogućih pozicija. Broj ovih podslučajeva dobijamo tako što [inlmath]2[/inlmath] ([inlmath]FF[/inlmath] se može nalaziti ili na početku ili na kraju) pomnožimo sa [inlmath]5[/inlmath] (broj mogućih pozicija za treću teniserku), zatim sa [inlmath]3![/inlmath], pa sa [inlmath]5![/inlmath] (isto objašnjenje kao u prethodnom slučaju).
  – Kada se [inlmath]FF[/inlmath] ne nalazi ni na početku ni na kraju niza, za treću teniserku preostaju [inlmath]4[/inlmath] moguće pozicije. Broj ovih podslučajeva dobijamo tako što [inlmath]5[/inlmath] (broj mogućih pozicija za [inlmath]FF[/inlmath]) pomnožimo sa [inlmath]4[/inlmath] (broj mogućih pozicija za treću teniserku), zatim sa [inlmath]3![/inlmath], pa sa [inlmath]5![/inlmath].

---

A možemo i ručno ispisati sve dozvoljene načine (nema ih puno) raspoređivanja tenisera i teniserki, pri čemu privremeno sve tenisere posmatramo kao međusobno jednake elemente ([inlmath]M[/inlmath]), isto tako i teniserke ([inlmath]F[/inlmath]):
[dispmath]\begin{matrix}
FMFMFMMM & FMMFMMFM & MFMFMFMM & MFMMMFMF\\
FMFMMFMM & FMMFMMMF & MFMFMMFM & MMFMFMFM\\
FMFMMMFM & FMMMFMFM & MFMFMMMF & MMFMFMMF\\
FMFMMMMF & FMMMFMMF & MFMMFMFM & MMFMMFMF\\
FMMFMFMM & FMMMMFMF & MFMMFMMF & MMMFMFMF
\end{matrix}[/dispmath] Dakle, ima ih [inlmath]20[/inlmath]. Sad još treba taj broj pomnožiti brojem permutacija bez ponavljanja od [inlmath]5[/inlmath] elemenata (teniseri) i brojem permutacija bez ponavljanja od [inlmath]3[/inlmath] elementa (teniserke).

---

Naravno, i na jedan i na drugi način treba da se dobije isti rezultat.

A evo i trećeg načina.

Možemo dve teniserke fiksirati jednu do druge, a treću postavljati na bilo koje od preostalih [inlmath]6[/inlmath] mesta.
Međutim, na ovaj način dvaput računamo broj slučajeva kad su sve tri jedna do druge, a evo i zašto.
Ako npr. fiksiramo dve teniserke na [inlmath]3.[/inlmath] i na [inlmath]4.[/inlmath] mesto a treća se može nalaziti bilo gde, tada je moguć slučaj da treća bude npr. na [inlmath]5.[/inlmath] poziciji, ali bismo isti takav slučaj imali i ako bismo dve fiksirali npr. na [inlmath]4.[/inlmath] i na [inlmath]5.[/inlmath] mesto a treću šetamo po preostalih [inlmath]6[/inlmath] pozicija, jer bi se tada ta treća mogla naći na [inlmath]3.[/inlmath] poziciji i opet bismo imali slučaj da tri teniserke zauzimaju [inlmath]3[/inlmath], [inlmath]4.[/inlmath] i [inlmath]5.[/inlmath] poziciju.

Dakle, na ovaj način smo dvaput računali svaki slučaj u kojem se sve tri teniserke nalaze jedna do druge.
Zbog toga je sad od broja nepovoljnih slučajeva potrebno oduzeti (iliti broju povoljnih slučajeva dodati) broj slučajeva kada su sve tri teniserke jedna do druge.
To je, zapravo, formula uključivanja-isključivanja.
Naravno, dobije se isti rezultat kao i na prethodna dva pokazana načina.

Pade mi na pamet još jedan način rešavanja, preko kombinacija s ponavljanjem.

Budući da svake dve teniserke moraju biti razdvojene bar jednim teniserom, u startu imamo niz [inlmath]FMFMF[/inlmath] (kao i u prethodnim načinima, i ovde privremeno sve tenisere i sve teniserke posmatramo kao međusobno identične). Preostaje nam još [inlmath]3[/inlmath] tenisera koja treba umetnuti među elemente tog niza. Potrebno je odrediti na koliko načina možemo to umetanje izvršiti. Prvo označimo one pozicije na koje možemo umetnuti ova preostala [inlmath]3[/inlmath] tenisera:
[dispmath]\underset{(1)}{\_}FM\underset{(2)}{\_}FM\underset{(3)}{\_}F\underset{(4)}{\_}[/dispmath] (Nisam obeležio pozicije pre tenisera ([inlmath]M[/inlmath]), već samo nakon [inlmath]M[/inlmath], jer je isti đavo hoćemo li nekog od preostalih tenisera staviti pre ili posle tenisera koji se nalazi u nizu.)

Dakle, imamo ukupno [inlmath]4[/inlmath] pozicije, a [inlmath]3[/inlmath] tenisera koja treba umetnuti, pri čemu na istu poziciju možemo staviti i više od jednog tenisera. To možemo posmatrati kao da [inlmath]3[/inlmath] puta biramo neku od [inlmath]4[/inlmath] pozicije na koju ćemo staviti nekog tenisera, pri čemu se izbor neke pozicije može i ponavljati. Prema tome, varijacije s ponavljanjem od [inlmath]4[/inlmath] elementa [inlmath]3.[/inlmath] klase, [inlmath]\overline C_4^3[/inlmath].

Na kraju, kao i u prethodnim načinima rešavanja, taj broj treba još pomnožiti brojem permutacija bez ponavljanja od [inlmath]5[/inlmath] elemenata (teniseri) i brojem permutacija bez ponavljanja od [inlmath]3[/inlmath] elementa (teniserke). Znači, [inlmath]\overline C_4^3\cdot P_5\cdot P_3[/inlmath].