MATEMANIJA

Koliko ima parnih petocifrenih brojeva koji se mogu formirati od brojeva skupa [inlmath]A=\{0,1,2,3,4\}[/inlmath] tako da se cifre ne ponavljaju?

Ovaj zadatak mi je malo nezgodan da postavim preko formule zato što [inlmath]0[/inlmath] ne sme biti na prvom mestu, ali da bi broj bio paran na poslednjem mestu treba da bude [inlmath]0[/inlmath], [inlmath]2[/inlmath] ili [inlmath]4[/inlmath]. Ja bih to uradila tako što bih pravila dva petocifrena broja. Kod prvog bi na poslednjem mestu bila [inlmath]0[/inlmath], a kod drugog bi na poslednjem mestu bila [inlmath]2[/inlmath] ili [inlmath]4[/inlmath].
I onda kod prvog broja na prvom mestu mogu da budu [inlmath]4[/inlmath] cifre, na drugom mestu [inlmath]3[/inlmath], na trećem [inlmath]2[/inlmath], na četvrtom [inlmath]1[/inlmath] i na poslednjem [inlmath]1[/inlmath] odnosno [inlmath]0[/inlmath].
[dispmath]4\cdot3\cdot2\cdot1\cdot1+3\cdot\ 3\cdot2\cdot1\cdot2=60[/dispmath]
Je l' može opet neko da mi pokaže način preko formule?

U suštini se svodi na ovo što si napisala... U "prvom broju" kako si ga nazvala (broj koji ima [inlmath]0[/inlmath] na kraju), ti si fiksirala poslednju cifru i menjaš redosled za prve četiri. Pošto imaš četiri cifre "u igri" za četiri mesta, problem se zapravo svodi na broj permutacija sa četiri elementa, i kada primeniš formulu [inlmath]P_n=n![/inlmath], dobiješ upravo svoj prvi sabirak. Za "drugi broj", najlakše je upravo ovako kako si ti uradila. Ako baš "insistiraš" na formuli, na poslednje mesto imaš dve mogućnosti (ili [inlmath]2[/inlmath] ili [inlmath]4[/inlmath]), za prvo mesto imaš tri mogućnosti ([inlmath]1[/inlmath], [inlmath]3[/inlmath] i ona cifra koju nisi odabrala za poslednje mesto). Ostaju ti cifre na mestima dva, tri i četiri i još tri cifre iz tvog polaznog skupa. Dakle, ponovo permutacije, ovoga puta sa tri elementa. Kad sve to napišeš, dobiješ upravo svoj drugi sabirak.

Drugi način bio bi da od broja svih petocifrenih brojeva formiranih od datih cifara (a takvih brojeva ima [inlmath]4\cdot P_4[/inlmath]) oduzmemo broj onih koji su neparni (a njih ima [inlmath]2\cdot3\cdot P_3[/inlmath]).