MATEMANIJA

Na koliko načina je moguće [inlmath]4[/inlmath] iste kuglice rasporediti u [inlmath]3[/inlmath] iste kutije tako da mogu kutije da budu i prazne, takodje me zanima isto to, samo kad u kutiji moze da bude bar jedna kuglica.
Zadatke sam pokusao da resim, tako sto sam pravio kombinacije [inlmath]400[/inlmath], [inlmath]310[/inlmath], [inlmath]220[/inlmath] i [inlmath]112[/inlmath], znaci dobio sam [inlmath]4[/inlmath] moguce kombinacije za prvi deo zadatka, a sad za drugi deo zadatka nisam siguran kako se radi preko formule ili preko crtanja. Inače ovde broj predstavlja kuglice. Takodje me zanima, odakle bih mogao da nadjem ovakav tip zadataka da provežbam.

Aleksandargimnazija je napisao:Na koliko načina je moguće [inlmath]4[/inlmath] iste kuglice rasporediti u [inlmath]3[/inlmath] iste kutije tako da mogu kutije da budu i prazne,

Pretpostavljam da se npr. [inlmath]400[/inlmath], [inlmath]040[/inlmath] i [inlmath]004[/inlmath] tretiraju kao različiti slučajevi, isto i [inlmath]310[/inlmath], [inlmath]301[/inlmath] itd. Ako ispišeš sve te slučajeve, videćeš da ih ima [inlmath]15[/inlmath]. Međutim, potrebno je do toga doći računski.

Dakle, imamo u ruci [inlmath]4[/inlmath] kuglice i ispred sebe [inlmath]3[/inlmath] kutije u koje treba rasporediti te kuglice. Prilikom stavljanja prve kuglice, na slučajan način biramo neku od [inlmath]3[/inlmath] kutije u koju ćemo staviti tu kuglicu. Nakon toga, prilikom stavljanja druge kuglice, takođe na slučajan način biramo neku od [inlmath]3[/inlmath] kutije u koju ćemo staviti tu drugu kuglicu (pri čemu možemo izabrati i onu kutiju u koju smo već stavili prvu kuglicu). I tako dalje do četvrte kuglice. Znači, [inlmath]4[/inlmath] puta biramo neku od [inlmath]3[/inlmath] kutije, pri čemu jednu istu kutiju možemo odabrati i više od jednog puta. To su, dakle, kombinacije s ponavljanjem od [inlmath]3[/inlmath] elementa (jer imamo [inlmath]3[/inlmath] kutije) [inlmath]4.[/inlmath] klase (jer odabir kutija vršimo [inlmath]4[/inlmath] puta).

Uvrstiš to u formulu za kombinacije s ponavljanjem (tu formulu imaš ovde) i dobićeš traženi rezultat.

Aleksandargimnazija je napisao:takodje me zanima isto to, samo kad u kutiji moze da bude bar jedna kuglica.

Verovatno si hteo da kažeš, kad mora da bude bar jedna kuglica, tako bi imalo smisla. Pa, u startu raspodeliš kuglice tako da se u svakoj od [inlmath]3[/inlmath] kutije nalazi po jedna kuglica, i to ti je neki početni uslov zadatka. Koliko ti je tada kuglica ostalo na raspolaganju (u ruci)?

Aleksandargimnazija je napisao:Takodje me zanima, odakle bih mogao da nadjem ovakav tip zadataka da provežbam.

Upravo na ovom forumu, u rubrici „Kombinatorika“.

Hvala Daniele na odgovoru, jasno mi je za kombinaciju sa ponavljanjem, a izgleda da se samo traze jedinstvene kombinacija, tj. [inlmath]4[/inlmath] kombinacije pošto su iste kutije, a i kuglice, samim tim ukupno je [inlmath]4[/inlmath] kombinacije (konačno). Znači ipak sam dobro uradio.
Hvala još jednom, a za bar jednu kuglicu koja se nalazi u kutiji mislim da ima tačno [inlmath]1[/inlmath] kombinacija

U tom slučaju zadatak je pomalo nedorečen. To što su kutije iste ne znači da ne mogu biti poređane tako da nam bude bitna njihova pozicija, al' dobro...
To je onda vrlo slično situaciji koju smo imali u ovom zadatku. Samo s drugačijim brojnim vrednostima.
Da, imamo tačno jednu mogućnost raspoređivanja ako u svakoj od kutija mora da se nalazi bar jedna kuglica. Jer, nakon što rasporedimo tri kuglice u te tri kutije i ostane nam četvrta kuglica, tada tu četvrtu kuglicu možemo staviti u bilo koju od tri iste kutije, a moramo je staviti u neku od kutija. Prema tome, jedna mogućnost.

I meni je isto bilo čudno, al svaki sledeći zadatak se radi na tu foru.