MATEMANIJA

Zdravo
Tekst:
Koliko ima reci koje se sastoje od slova [inlmath]a,b,c,d,e,f,g[/inlmath] (svako slovo se moze upotrebiti tacno jednom) i koje ne sadrze ni podrec [inlmath]ab[/inlmath] ni podrec [inlmath]bc[/inlmath] ni podrec [inlmath]ef[/inlmath] ni podrec [inlmath]fe[/inlmath]?

Moje resenje:
Svih permutacija ima
[inlmath]7![/inlmath]

1. Posmatramo [inlmath]ab[/inlmath] kao jedno slovo
Pa u ovom slucaju imamo
[inlmath]ab,c,d,e,f,g[/inlmath]
[inlmath]6![/inlmath] permutacija

1.1 Posto se u nasem razmatranju desila situacija [inlmath]abc[/inlmath]
Odnosno [inlmath]abc,d,e,f,g[/inlmath]

Te resenje za pod 1. je:
[inlmath]6!-5![/inlmath]

2. Razmatramo [inlmath]bc[/inlmath]
...isto [inlmath]6![/inlmath]
2.2 ...desila se situacija [inlmath]abc[/inlmath]
Pa opet je:
[inlmath]6!-5![/inlmath]

3. Razmatramo [inlmath]ef[/inlmath], to je:
[inlmath]6![/inlmath]

4. Razmatramo [inlmath]fe[/inlmath], to je:
[inlmath]6![/inlmath]

Pa je resenje:

[inlmath]7!-\bigl(2(6!-5!)+2\cdot6!\bigr)[/inlmath]

Ali ovo nije tacno, zasto?

Koliko vidim, ti si od zbira broja mogućnosti [inlmath]ab[/inlmath] i broja mogućnosti [inlmath]bc[/inlmath] dvaput oduzeo broj mogućnosti [inlmath]abc[/inlmath], a trebalo je samo jednom (formula uključenja i isključenja).
Drugo, zanemario si mogućnost da se neka od mogućnosti [inlmath]ab[/inlmath] ili [inlmath]bc[/inlmath] istovremeno pojavi s mogućnostima [inlmath]ef[/inlmath] ili [inlmath]fe[/inlmath].

Budući da znaš da ti rezultat nije tačan, pretpostavljam da znaš kako glasi tačan rezultat. Uvek kad znaš kako glasi tačan rezultat potrebno je da ga ovde napišeš, jer na taj način olakšavaš onima koji bi želeli da ti pomognu. To je i naglašeno u tački 11. Pravilnika.

Imam sličan zadatak, da proverim da li mi je rešenje tačno.

Koliko ima permutacija slova [inlmath]a[/inlmath], [inlmath]b[/inlmath], [inlmath]c[/inlmath], [inlmath]d[/inlmath], [inlmath]e[/inlmath], [inlmath]f[/inlmath], [inlmath]g[/inlmath] koje ne sadrže ni podreč [inlmath]bge[/inlmath] ni podreč [inlmath]eaf[/inlmath]?

[inlmath]S=[/inlmath] "skup svih permutacija datih slova", [inlmath]|S|=7![/inlmath]
[inlmath]A=[/inlmath] "skup svih permutacija datih slova koje sadrže podreč [inlmath]bge[/inlmath]"
[inlmath]B=[/inlmath] "skup svih permutacija datih slova koje sadrže podreč [inlmath]eaf[/inlmath]"
[inlmath]|A|=|B|=5![/inlmath] ([inlmath]bge[/inlmath], [inlmath]c[/inlmath], [inlmath]d[/inlmath], [inlmath]f[/inlmath], [inlmath]a[/inlmath]; [inlmath]eaf[/inlmath], [inlmath]b[/inlmath], [inlmath]c[/inlmath], [inlmath]d[/inlmath], [inlmath]g[/inlmath])
[inlmath]|AB|=3![/inlmath] ([inlmath]bgeaf[/inlmath], [inlmath]c[/inlmath], [inlmath]d[/inlmath])
[inlmath]7!-(2\cdot5!-3!)[/inlmath]

Da, tačno je. Ovo je lakša varijanta prethodnog zadatka. Isto se primenjuje formula uključenja i isključenja, koja je sasvim logična – oduzimanjem [inlmath]|A|[/inlmath] i zatim oduzimanjem [inlmath]|B|[/inlmath] dvaput smo oduzeli [inlmath]|A\cap B|[/inlmath] (a treba samo jednom), pa da bismo to kompenzovali potrebno je još da dodamo [inlmath]|A\cap B|[/inlmath].