MATEMANIJA

5.zadatak
Imamo dati skup [inlmath]\{1,2,\ldots,40\}[/inlmath] treba da izracunamo na koliko nacina mogu da se izaberu tri razlicita broja tako da njihov zbir bude paran broj
Postoje dva slucaja:
I) da su sva tri broja parna i razlicita
II) da su dva neparna i jedan paran i svi medjusobno razliciti
U prvom slucaju mogucnost je [inlmath]{20\choose3}=1140[/inlmath]
U drugom za jedan neparan je [inlmath]n_1=20[/inlmath], drugi [inlmath]n_2=19[/inlmath] a za paran je [inlmath]p=20[/inlmath] mogucnost, medjutim [inlmath]20\cdot19\cdot20[/inlmath] deli se sa [inlmath]2![/inlmath] jer mogu da menjaju mesta (s tim sto ako se paran broj stavi na prvo mesto isto je kao da je stavljen na zadnje)
tako da mogucnosti u drugom slucaju ima [inlmath]\frac{20\cdot20\cdot19}{2!}=3800[/inlmath]
Na kraju ukupno takvih brojeva ima
[dispmath]1140+3800=\enclose{box}{4940}[/dispmath]

Nađa je napisao:U drugom za jedan neparan je [inlmath]n_1=20[/inlmath], drugi [inlmath]n_2=19[/inlmath] a za paran je [inlmath]p=20[/inlmath] mogucnost, medjutim [inlmath]20\cdot19\cdot20[/inlmath] deli se sa [inlmath]2![/inlmath] jer mogu da menjaju mesta (s tim sto ako se paran broj stavi na prvo mesto isto je kao da je stavljen na zadnje)
tako da mogucnosti u drugom slucaju ima [inlmath]\frac{20\cdot20\cdot19}{2!}=3800[/inlmath]

U ovom delu smo jednostavno mogli primeniti kombinacije bez ponavljanja. Pošto od [inlmath]20[/inlmath] neparnih brojeva biramo njih [inlmath]2[/inlmath], to je [inlmath]C_{20}^2[/inlmath], a pošto zatim od [inlmath]20[/inlmath] parnih brojeva biramo jedan, to se još množi sa [inlmath]C_{20}^1[/inlmath], tj. sa [inlmath]20[/inlmath]. Dakle, [inlmath]{20\choose2}\cdot20=3800[/inlmath].