MATEMANIJA

Broj svih vrednosti prirodnog broja [inlmath]n[/inlmath] za koje razvoj [inlmath]\left(\sqrt x+\sqrt[3]x\right)^n[/inlmath] sadrzi clan oblika [inlmath]mx^7[/inlmath], [inlmath]m\in\mathbb{Z}[/inlmath], jednak je:


Dobro bi mi dosla pomoc.
Ne znam na koj nacin da uradim, pokusao sam preko opsteg clana medjutim posto ne znam koliko je [inlmath]n[/inlmath] a ni [inlmath]k[/inlmath], ne znam kako dalje.

Iskoristi formulu za razvoj stepena binoma, [inlmath](a+b)^n=\sum\limits_{k=0}^n{n\choose k}a^{n-k}b^k[/inlmath], iz koje možeš videti da će članovi razvoja biti oblika [inlmath]ma^{n-k}b^k[/inlmath], [inlmath]m\in\mathbb{Z}[/inlmath].
Nakon toga, postavi uslov da član razvoja sadrži [inlmath]x^7[/inlmath].
Time ćeš dobiti vezu između [inlmath]k[/inlmath] i [inlmath]n[/inlmath], pa znajući da [inlmath]k[/inlmath] ide od [inlmath]0[/inlmath] do [inlmath]n[/inlmath], možeš odatle odrediti u kom intervalu se nalazi [inlmath]n[/inlmath].

Pokušaj po ovim uputstvima, pa ako ne ide, javi gde je zastalo.

Hvala na brzom odgovoru.

Problem je bio sto sam zaboravio da primenim da je [inlmath]0\le k\le n[/inlmath], odakle se i dobija resenje

Izvini druze jesi isterao do kraja ovaj zadatak, posto ja nisam, ako mozes da objasnis?

[dispmath]\left(\sqrt x\right)^{n-k}\left(\sqrt[3]x\right)^k=x^{\frac{3n-k}{6}}\\
\frac{3n-k}{6}=7\\
3n-k=42\\
0\le k\le n[/dispmath] Ovo je do sada rečeno.

Ako se neko još nije snašao da završi zadatak neka se javi.

Ako moze pomoc, odredimo interval u kojima se nalazi [inlmath]n[/inlmath], ali sta posle toga?

[dispmath]3n-k=42\\
k=3n-42\\
0\le k\le n\\
0\le3n-42\le n[/dispmath] Rešiš ovu dvostruku nejednačinu i utvrdiš koliko ima celobrojnih rešenja.