MATEMANIJA

Dat je skup [inlmath]S=(1,2,3,4)[/inlmath]. Koliko se parnih cetvorocifrenih brojeva moze sastaviti od ovog skupa?

Možeš raditi na dva načina.

Prvi je taj, da nađeš broj svih permutacija ovih cifara, a zatim, znajući da je parnost broja određena isključivo parnošću krajnje desne cifre, kao i uočavajući da je u zadatom skupu broj parnih cifara jednak broju neparnih cifara, ukupan broj permutacija podeliš sa dva.

Drugi način je taj, da uočiš u koliko slučajeva će krajnja desna cifra biti parna (očigledno je da je parna u dva slučaja) a zatim za svaki od ta dva slučaja nađeš broj permutacija preostalih triju cifara, a zatim te brojeve permutacija za svaki od ta dva slučaja (koji će, očigledno, biti jednaki) sabereš.

Daniel je napisao:a zatim za svaki od ta dva slučaja nađeš broj permutacija preostalih triju cifara

kako da nadjes broj permutacija?

Kad imaš [inlmath]n[/inlmath] elemenata, broj njihovih permutacija je
[dispmath]P_n=n![/dispmath]
tj.
[dispmath]P_n=n\left(n-1\right)\left(n-2\right)\left(n-3\right)\cdots 3\cdot 2\cdot 1[/dispmath]

a u ovom primeru konkretno koliko ce biti?

Nije stvar u tome da ti ja sad kažem koliko će to biti u ovom konkretnom primeru. U nekom drugom zadatku dobićeš sasvim drugu situaciju i ništa ti onda neće vredeti rešenje ovog primera.
Dao sam ti, znači, sve potrebne podatke. Još jednom, broj permutacija od [inlmath]n[/inlmath] elemenata dobijaš tako što izmnožiš sve prirodne brojeve od [inlmath]n[/inlmath] do [inlmath]1[/inlmath], a u slučaju za koji si me pitao treba da nađeš broj permutacija od tri elementa. Pa, koliko je onda to?

a zasto ovde nije rec o varijacijaama kada nije naglaseno da se cifre ne ponavljaju i moze da bude npr [inlmath]1114[/inlmath] ili [inlmath]1112[/inlmath]?

Čekaj, smeju li se cifre tog skupa ponavljati u četvorocifrenom broju? Kako tačno glasi tekst zadatka, od reči do reči?

Ako smeju, onda to nisu permutacije bez ponavljanja, već varijacije s ponavljanjem.

glasi tako kao sto sam ti napisao... je l to onda [inlmath]3\cdot 2\cdot 1[/inlmath]? ja nemam pojma ovo, mnogo mi je tesko

Ako glasi tako kao što si napisao, onda se slažem da je zadatak u tom smislu nejasan, ali ja bih ga pre protumačio tako da se cifre ne smeju ponavljati, tj. da su u pitanju permutacije bez ponavljanja. Neka me neko slobodno ispravi ako misli drugačije.

Da, broj permutacija od tri elementa je [inlmath]3![/inlmath] (čita se tri faktorijel), a iznosi [inlmath]3\cdot 2\cdot 1[/inlmath], tj. [inlmath]6[/inlmath]. Na boljim digitronima imaš čak i dugme za izračunavanje [inlmath]n![/inlmath].

Evo i broja permutacija na primerima:
[dispmath]\begin{array}{l}
P_2=2!=2\cdot 1=2\\
P_3=3!=3\cdot 2\cdot 1=6\\
P_4=4!=4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=24\\
P_5=5!=5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=120\\
\vdots
\end{array}[/dispmath]

Evo i postupka za slučaj da se ipak podrazumeva da se cifre u formiranom broju smeju ponavljati.
U tom slučaju, radi se o varijacijama s ponavljanjem, [inlmath]\overline{V_n^k}=n^k[/inlmath]. Ukupan broj svih četvorocifrenih brojeva (i parnih i neparnih) koji se mogu formirati ovim ciframa, pri čemu se one mogu ponavljati, jednak je broju varijacija od [inlmath]4[/inlmath] elemenata [inlmath]4.[/inlmath] klase s ponavljanjem, [inlmath]\overline{V_4^4}=4^4=256[/inlmath]. Pošto je parnost broja određena samo parnošću poslednje cifre, a u ovom skupu broj parnih cifara jednak je broju neparnih cifara, tj. parne difre čine tačno polovinu ukupnog broja cifara, broj parnih četvorocifrenih brojeva biće jednak polovini broja svih četvorocifrenih brojeva, tj. biće [inlmath]\frac{256}{2}=128[/inlmath].

Može da se uradi i na drugi način – prvo se odredi broj varijacija s ponavljanjem za prve tri cifre, koje nemaju uticaja na parnost broja. To će biti varijacije od [inlmath]4[/inlmath] elemenata [inlmath]3.[/inlmath] klase, [inlmath]\overline{V_4^3}=4^3=64[/inlmath]. Zatim se taj broj pomnoži brojem mogućnosti da na poslednjem mestu bude parna cifra, a postoje dve takve mogućnosti, pošto u skupu postoje dve parne cifre, [inlmath]2[/inlmath] i [inlmath]4[/inlmath]. Znači, dobijamo da je broj parnih četvorocifrenih brojeva jednak [inlmath]64\cdot 2=128[/inlmath].