MATEMANIJA

Ako je [inlmath]a={2008\choose 1003}[/inlmath], [inlmath]b={2008\choose 1004}[/inlmath], [inlmath]c={2008\choose 1005}[/inlmath] kako izgleda njihov poredak?

[dispmath]{n \choose k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}[/dispmath]
[dispmath]a={2008\choose 1003}=\frac{2008!}{1003!\cdot 1005!}[/dispmath]
[dispmath]b={2008\choose 1004}=\frac{2008!}{1004!\cdot 1004!}[/dispmath]
[dispmath]c={2008\choose 1005}=\frac{2008!}{1005!\cdot 1003!}[/dispmath]
Sasvim jasno, [inlmath]a=c[/inlmath].
Ostaje da uporedimo tu zajedničku vrednost sa [inlmath]b[/inlmath].
[dispmath]{1003!\cdot 1005!}=1004!\cdot 1003!\cdot 1005>1004!\cdot 1004![/dispmath]
Otuda je [inlmath]b>a=c[/inlmath]

Ostaje da uporedimo tu zajedničku vrednost sa [inlmath]b[/inlmath].
[dispmath]{1003!\cdot 1005!}=1004!\cdot 1003!\cdot 1005>1004!\cdot 1004![/dispmath]
Otuda je [inlmath]b>a=c[/inlmath]

Ne razumem ovo, moze pojasnjenje? :/

Poredimo imenioce, brojioci su isti, pa možemo zaključiti da je veći onaj broj kojem je imenilac manji...

A kako bismo zaključili koji je od njih možemo da nađemo njihov odnos:
[dispmath]\frac{1003!\cdot 1005!}{1004!\cdot 1004!}=\frac{1003!\cdot 1004!\cdot 1005}{1004\cdot 1003!\cdot 1004!}=\frac{1005}{1004}[/dispmath]

ja opet ne kapiram

Pošto smo, dakle, konstatovali da je [inlmath]a=c[/inlmath], sada upoređujemo [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath]:
[dispmath]a={2008\choose 1003}=\frac{2008!}{\left(2008!-1003\right)!\cdot 1003!}=\frac{2008!}{1005!\cdot 1003!}=\frac{2008!}{1005\cdot 1004!\cdot 1003!}=\frac{2008!}{1004!\cdot 1003!}\frac{1}{1005}[/dispmath]
[dispmath]b={2008\choose 1004}=\frac{2008!}{\left(2008!-1004\right)!\cdot 1004!}=\frac{2008!}{1004!\cdot 1004\cdot 1003!}=\frac{2008!}{1004!\cdot 1003!}\frac{1}{1004}[/dispmath]
Pošto i [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath] imaju zajednički faktor, [inlmath]\frac{2008!}{1004!\cdot 1003!}[/inlmath], pri čemu se [inlmath]a[/inlmath] još množi faktorom [inlmath]\frac{1}{1005}[/inlmath] a [inlmath]b[/inlmath] faktorom [inlmath]\frac{1}{1004}[/inlmath], biće [inlmath]a<b[/inlmath] zato što je i [inlmath]\frac{1}{1005}<\frac{1}{1004}[/inlmath].

Mislim da postupnije od ovoga ne može, a ako ti i dalje nije jasno, onda te molim da napišeš koji tačno deo treba da pojasnimo.


Inače, mogli smo zaključiti da je [inlmath]a=c[/inlmath] i na osnovu poznatog identiteta[dispmath]{n\choose k}={n\choose{n-k}}[/dispmath]jer se iz njega vidi da je [dispmath]a={2008\choose 1003}={2008\choose{2008-1003}}={2008\choose 1005}=c[/dispmath]
Taj identitet se lako može i dokazati:[dispmath]{n\choose{n-k}}=\frac{n!}{\left[n-\left(n-k\right)\right]!\cdot\left(n-k\right)!}=\frac{n!}{k!\cdot\left(n-k\right)!}=\frac{n!}{\left(n-k\right)!\cdot k!}={n\choose k}[/dispmath]