MATEMANIJA

Prijemni ispit FON – 27. jun 2009.
20. zadatak

Broj načina na koje Ana, Branko, Vera, Goran i Dunja mogu da se rasporede u vrstu (radi fotografisanja) tako da Branko i Goran ne budu jedan pored drugog je:
[inlmath]A)\;24;\quad[/inlmath] [inlmath]\enclose{circle}{B)}\;72;\quad[/inlmath] [inlmath]C)\;12;\quad[/inlmath] [inlmath]D)\;114;\quad[/inlmath] [inlmath]E)\;96;\quad[/inlmath] [inlmath]N)\;\text{Ne znam}.[/inlmath]

Molim za pomoc oko zadatka sa prijemnog ispita na fonu.

Prvo, rec je o permutacijama (jer se moraju svi fotografisati – koristimo sve clanove pocetnog "skupa") i to bez ponavljanja (zato sto je fizicki nemoguce da jedna ista osoba prilikom fotografisanja bude npr. i na prvom i na petom mestu).

Tako da koristimo formulu
[dispmath]P_n=n![/dispmath][dispmath]P_n=5!=120[/dispmath] Ovo [inlmath]120[/inlmath] je ukupan broj permutacija (ukljucujuci i da Branko i Goran budu jedan pored drugog).
Posto znamo da je ukupan broj permutacija [inlmath]120[/inlmath], kada to podelimo sa brojem osoba (njih [inlmath]5[/inlmath] treba da se fotografise) dobijamo [inlmath]24[/inlmath] tj. jedna osoba moze na jednom istom mestu da bude [inlmath]24[/inlmath] puta, pa samim tim ce Branko da bude pored Gorana [inlmath]24[/inlmath] puta kao i Goran pored Branka tj. ukupno ce njih dvojica da budu jedna pored drugog [inlmath]48[/inlmath] puta.

Pa je konacno resenje:
[dispmath]120-48=72[/dispmath]

---

Ili ovako:
Posto znamo ukupan broj permutacija - [inlmath]120[/inlmath] onda racunamo kada ce njih dvojica da budu jedan pored drugog:

Ana - [inlmath]1[/inlmath]
Branko - [inlmath]2[/inlmath]
Vera - [inlmath]3[/inlmath]
Goran - [inlmath]4[/inlmath]
Dunja - [inlmath]5[/inlmath]
[dispmath]\begin{matrix}
12345 & 12354 & 1{\color{#4000FF}24}35 & 1{\color{#4000FF}24}53 & 12534 & 12543\\
13{\color{#4000FF}24}5 & 13254 & 13{\color{#4000FF}42}5 & 13452 & 135{\color{#4000FF}24} & 135{\color{#4000FF}42}\\
1{\color{#4000FF}42}35 & 1{\color{#4000FF}42}53 & 14325 & 14352 & 14523 & 14532\\
15234 & 15{\color{#4000FF}24}3 & 153{\color{#4000FF}24} & 153{\color{#4000FF}42} & 15{\color{#4000FF}42}3 & 15432
\end{matrix}[/dispmath] Ukupno [inlmath]12[/inlmath] puta - sto znaci da kada su Ana, Vera i Dunja na prvom mestu prilikom fotografisanja, onda ce Branko i Goran biti jedan pored drugog:
[dispmath]3\cdot12=36\text{ puta}[/dispmath] A kada je jedan od njih dvojice na prvom mestu:
[dispmath]\begin{matrix}
21345 & 21354 & 21435 & 21453 & 21534 & 21543\\
23145 & 23154 & 23415 & 23451 & 23514 & 23541\\
{\color{#4000FF}24}135 & {\color{#4000FF}24}153 & {\color{#4000FF}24}315 & {\color{#4000FF}24}351 & {\color{#4000FF}24}513 & {\color{#4000FF}24}531\\
25134 & 25143 & 25314 & 25341 & 25413 & 25431
\end{matrix}[/dispmath][dispmath]2\cdot6=12\text{ puta}[/dispmath] Pa konacno:
[dispmath]120-(3\cdot12+2\cdot6)=120-48=72[/dispmath]

Evo još jednog načina:
Kao što Forza reče, postoji ukupno [inlmath]5!=120[/inlmath] permutacija, koje uključuju sve moguće međusobne položaje. Od tog broja treba oduzeti one permutacije u kojima su Branko i Goran jedan pored drugog. Situacije u kojima su Branko i Goran jedan pored drugog jesu sledeće:
[inlmath]BGxxx[/inlmath], [inlmath]xBGxx[/inlmath], [inlmath]xxBGx[/inlmath], [inlmath]xxxBG[/inlmath], [inlmath]GBxxx[/inlmath], [inlmath]xGBxx[/inlmath], [inlmath]xxGBx[/inlmath], [inlmath]xxxGB[/inlmath] - znači, ukupno [inlmath]8[/inlmath] situacija.
Budući da svaka od tih situacija uključuje onoliko mogućih permutacija na koliko se načina preostale učesnice fotografisanja mogu rasporediti, a to je [inlmath]3![/inlmath] tj. [inlmath]6[/inlmath], treba taj broj od mogućih [inlmath]8[/inlmath] situacija pomnožiti sa [inlmath]6[/inlmath] i sve to oduzeti od [inlmath]120[/inlmath]. Znači, [inlmath]120-8\cdot 6=72[/inlmath].

Bilo mi je jasno da su permutacije i da ih ima [inlmath]120[/inlmath], drugi deo mi nije bio jasan, ali sad je sve kristalno jasno, hvala