MATEMANIJA

Pozdrav svim ljubiteljima matematike!
Evo imam jedan zadatak za vas, ne bi trebalo da je težak ali ja ga ne mogu rešiti.

Kaže ovako:

Dat je skup [inlmath]A=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}[/inlmath]. Koliko ima grupoida [inlmath](A,*)[/inlmath], takvih da važi:
1) [inlmath]x\in A[/inlmath] i
2) [inlmath]x*5\notin\{x,5\}[/inlmath]

Samo da rešim eventualne nedoumice, simbol [inlmath]*[/inlmath] nije puta, odnosno operacija množenja, već je neka proizvoljna operacija...a koja to nema značaj za zadatak...

Znači ovo gore [inlmath]x*5[/inlmath] nije "[inlmath]x[/inlmath] puta [inlmath]5[/inlmath]" već "[inlmath]x[/inlmath] operacija zvezdica [inlmath]5[/inlmath]".

U pitanju su grupoidi iz opšte algebre...

Pozdrav i tebi, dobro nam došao!

Obeležiću onda operaciju simbolom [inlmath]\star[/inlmath], da ne bude zabune. Znači, traži se koliko ima grupoida [inlmath]\left(\mathbb{A},\star\right)[/inlmath] takvih da [inlmath]x\in\mathbb{A}[/inlmath] i [inlmath]x\star 5\notin\left\{x,5\right\}[/inlmath].

Broj mogućih slučajeva [inlmath]x\star y[/inlmath], gde [inlmath]x\in\left\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\right\}[/inlmath] a [inlmath]y\in\left\{1,2,3,4,6,7,8,9,10\right\}[/inlmath] (tj. ne sadrži [inlmath]5[/inlmath]), iznosi [inlmath]10\cdot 9[/inlmath], tj. [inlmath]90[/inlmath], a svaki od tih slučajeva može, kao rezultat operacije, imati jednu od [inlmath]10[/inlmath] mogućih vrednosti, od [inlmath]1[/inlmath] do [inlmath]10[/inlmath]. Prema tome, broj tih slučajeva predstavlja broj varijacija od [inlmath]10[/inlmath] elemenata [inlmath]90.[/inlmath] klase, tj. [inlmath]\overline{V_{10}^{90}}=10^{90}[/inlmath].

Broj mogućih slučajeva [inlmath]x\star 5[/inlmath], gde [inlmath]x\in\left\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\right\}[/inlmath], iznosi [inlmath]10[/inlmath], a svaki od tih slučajeva može, kao rezultat operacije, imati jednu od [inlmath]8[/inlmath] mogućih vrednosti, od [inlmath]1[/inlmath] do [inlmath]10[/inlmath] bez [inlmath]x[/inlmath] i bez [inlmath]5[/inlmath]. Prema tome, broj tih slučajeva predstavlja broj varijacija od [inlmath]8[/inlmath] elemenata [inlmath]10.[/inlmath] klase, tj. [inlmath]\overline{V_{8}^{10}}=8^{10}[/inlmath].

Ukupan broj slučajeva, tj. ukupan broj grupoida [inlmath]\left(\mathbb{A},\star\right)[/inlmath] koji zadovoljavaju postavljeni uslov dobijemo tako što pomnožimo ova dva broja slučaja, tj. [inlmath]10^{90}\cdot 8^{10}[/inlmath].

E hvala puno na odgovoru, nisam stigao ni da se zahvalim. Usput veoma je detaljno i postupno objašnjeno, svaka čast!