MATEMANIJA

Zdravo, još jedan zadatak iz kombinatorike sa moje strane.

Koliko ima četvorocifrenih brojeva, kojima se cifre ne ponavljaju, pri čemu su cifre jedinica i desetica parni brojevi, a zbir cifara [inlmath]21[/inlmath]?

Veliki problem mi zadaje ovaj zbir cifara od [inlmath]21[/inlmath]!
Ono što sam zaključio je da na poslednjem mestu može biti [inlmath]5[/inlmath], a na pretposlednjem [inlmath]4[/inlmath] cifre. Sad, pošto su zadnje dve parne, onda zbir preostale dve cifre mora dati neparan broj. Što znači da je parna cifra još na jednom mestu. Ako je parna na drugom mestu, onda su to još [inlmath]3[/inlmath] cifre, a na prvo mesto dolazi kombinacija [inlmath]5[/inlmath] cifara: [inlmath]5\cdot3\cdot4\cdot5=300[/inlmath]
Ako je parna cifra na prvom mestu, ako ne grešim, onda je broj mogućnosti samo [inlmath]2[/inlmath] cifre, jer ako [inlmath]0[/inlmath] nije iskorišćena na poslednje dve, ne može biti ni na prvom mestu. Pa dobijam rezultat: [inlmath]2\cdot5\cdot4\cdot5=200[/inlmath]
Što ukupno daje [inlmath]500[/inlmath] kombinacija. Ali, moram oduzeti od ovog broja dve kombinacije, a to su situacije ako poslednja dva broja čine kombinaciju [inlmath]0[/inlmath] i [inlmath]2[/inlmath], jer sa preostalim ciframa ne možemo dobiti zbir [inlmath]21[/inlmath], Pa je konačno rešenje [inlmath]498[/inlmath].

Ne znam da li ovo što sam napisao ima smisla, pa ako neko može da mi ukaže gde grešim.

Hvala.

Koliko vidim nigde nisi ispunio uslov da je zbir cifara [inlmath]21[/inlmath]. Dobro si zaključio da traženi brojevi imaju jednu neparnu i tri parne cifre. Kako su, po uslovu zadatka, sve cifre različite možemo i "peške" da rešimo zadatak. Na primer, pretpostavimo da je neparna cifra [inlmath]1[/inlmath], tada [inlmath]3[/inlmath] različite parne cifre moraju dati zbir [inlmath]20[/inlmath] što je nemoguće (najveći mogući takav zbir je [inlmath]4+6+8=18[/inlmath]). Dakle, traženi brojevi ne mogu sadržati jedinicu. E sad kada bi neparna cifra bila [inlmath]3[/inlmath] onda bismo već mogli dobiti zbir cifara [inlmath]21[/inlmath] itd. Ostavljam tebi da dovršiš...

Pa to me i najviše muči, taj zbir cifara.
Mada hvala za ovu jedinicu, dosta pomaže. Ako sam dobro izračunao, dobio sam da je ukupan broj kombinacija [inlmath]68[/inlmath].
Imam dve grupe sa po četiri slučaja.
Grupa 1:
Ako je neparan broj na prvom mestu:
a) Neparni brojevi su [inlmath]1[/inlmath], [inlmath]3[/inlmath], [inlmath]5[/inlmath], [inlmath]7[/inlmath] i [inlmath]9[/inlmath].... jedinica odpada, tako da je prvi broj [inlmath]3[/inlmath], što znači da je preostali zbir koji treba da se dobije [inlmath]18[/inlmath].
Jedina kombinacija parnih projeva, da bi se dobio zbir [inlmath]18[/inlmath] je [inlmath](8,6,4)[/inlmath] i tu imam ukupno [inlmath]6[/inlmath] kombinacija!
b) ako je prvi broj [inlmath]5[/inlmath], ostaje da je zbir [inlmath]16[/inlmath] i tu imamo jedinu kombinaciju [inlmath](8,6,2)[/inlmath], što je takođe [inlmath]6[/inlmath] kombinacija!
c) ako je prvi broj [inlmath]7[/inlmath], tada imamo dva slučaja, jer je preostali zbir [inlmath]14[/inlmath]. Prva uređena trojka [inlmath](8,6,0)[/inlmath] - [inlmath]6[/inlmath] kombinacija i druga uređena trojka [inlmath](8,4,2)[/inlmath] - [inlmath]6[/inlmath] kombinacija, pa je ukupan broj kombinacija [inlmath]12[/inlmath]!
d) analogno kao pod c)... uređeni parovi su [inlmath](8,4,0)[/inlmath] i [inlmath](6,4,2)[/inlmath] - [inlmath]12[/inlmath] kombinacija

Grupa 2:
Ako je neparan broj na drugom mestu:
a) ovde imamo istu situaciju kao u grupi 1, pa je rešenje [inlmath]6[/inlmath] kombinacija
b) isto važi ako je na drugom mestu broj [inlmath]5[/inlmath]... [inlmath]6[/inlmath] kombinacija
c) ako je na drugom mestu broj [inlmath]7[/inlmath], opet imamo dve uređene trojke, samo što sad na prvom mestu ne može biti broj [inlmath]0[/inlmath]!
pa za uređenu trojku [inlmath](8,6,0)[/inlmath] imamo [inlmath]4[/inlmath] kombinacije, a za [inlmath](8,4,2)[/inlmath] [inlmath]6[/inlmath] kombinacija, što daje ukupno [inlmath]10[/inlmath] kombinacija.
d) analogno kao pod c) - [inlmath]10[/inlmath] kombinacija

Pa se konačan rezultat svodi na:
[dispmath]6+6+12+12+6+6+10+10=68[/dispmath] Da li je ovo sad ok?

Sasvim OK postupak, kao i rezultat. Sad malo mojih cepidlačenja (koja možda to i jesu a možda i nisu).
Izbegavaj da u ovakvim situacijama koristiš izraz kombinacije da se ne bi mešale s onim što kombinacije zaista predstavljaju u kombinatorici. Ovde bi adekvatniji izraz bio mogućnosti.
Izbegavaj nepotrebne znake uzvika kada ti se rečenica završava brojem, kako taj broj ne bi bio pogrešno pročitan kao faktorijel tog broja.
Ne kaže se odpada, već otpada (jednačenje suglasnika po zvučnosti).

Izvinjavam se na greškama.
Pa možda je ok postupak za ovaj zadatak, ali ne znam kako bi sve to izgledalo da je zadat neki veći broj ili samo da je rečeno da se cifre mogu ponavljati, pa da postoji daleko više mogućnosti!?
Mada, bitno je da sam se potrudio, razumeo i na kraju, uz malu pomoć, uradio zadatak.

pozdrav,