MATEMANIJA

Ne znam gde da postavim ovakvo pitanje, ali bih rekao da je ovo najpogodnije mesto za to.
Naime, nemam nijedan konkretan zadatak, vec hocu da pitam za sve zadatke tipa: U razvoju [inlmath](a+b)^n[/inlmath] ima koliko iracionalnih (racionalnih, onih koji pripadaju skupu [inlmath]\mathbb{N}[/inlmath], ...)

Dakle ja odredim koji sve brojevi mogu da budu [inlmath]k[/inlmath], ali sam nesiguran kad odredjujem koliko tacno clanova ima. Recimo neka je [inlmath]n=2018[/inlmath], a [inlmath]k\in\left\{0,10,20,30,\ldots\right\}[/inlmath]. Kako sad tu treba razmisljati? Ja radim ovako: U razvoju ima [inlmath]2019[/inlmath] clanova.
[dispmath](2019-1):10=201(8)[/dispmath] oduzimam jedan jer odbijam onu [inlmath]0[/inlmath].
[dispmath]201+1=202[/dispmath] sada dodajem jedan jer vracam nulu.

Da li je ovo korektno? E sad, meni je ovako pokazano, ali objasnjenje nisam dobio, pa sam morao sam da skapiram i ne znam da li sam dobro razumeo. Dakle, nula se oduzima da bi se moglo deliti, tj da bi se namestilo da broj [inlmath]10[/inlmath] bude tacno [inlmath]10.[/inlmath] clan u nizu.

Ako je sve ovo tacno, sta bi radio recimo za slucaj [inlmath]n=2018[/inlmath] i [inlmath]k\in\left\{0,5,15,25,35,\ldots\right\}\;[/inlmath]?
Da li bi, prateci onaj gore postupak moglo da se radi ovako: [inlmath](2019-6):10=201(3)+2\;[/inlmath]?

Koristi formulu za clan razvoja.
[dispmath]T_{k+1}={n\choose k}a^{n-k}\;b^k[/dispmath] Sada ako ti se traze racionalni clanovi gledas da [inlmath]n-k\in\mathbb{N}[/inlmath] i [inlmath]k\in\mathbb{N}[/inlmath]. Uglavnom ce ti ispred ovih izraza biti razlomak, tipa ako je u zadatku dat [inlmath]\sqrt a[/inlmath] kao clan binoma.

Sada za broj clanova, kao sto si rekao na primer ako bi imali da je [inlmath]n=2015[/inlmath] i [inlmath]k[/inlmath] svaki deseti clan, odnosno na primer kad bi imali [inlmath]\frac{1}{5}(n-k)\in\mathbb{N}[/inlmath] i [inlmath]\frac{1}{2}k\in\mathbb{N}[/inlmath], ja bih podelio [inlmath]n[/inlmath] sa [inlmath]k[/inlmath] i celom broju dodao jos jedan zbog slucaja kada je [inlmath]k=0[/inlmath].

U slucaju da je [inlmath]n=2015[/inlmath] za [inlmath]k[/inlmath] imamo [inlmath]2015/10+1=202[/inlmath] vrednosti. Sada posto clanova imamo [inlmath]n+1[/inlmath] od tog broja cemo oduzeti broj vrednosti [inlmath]k[/inlmath].

I meni je sve ovo bilo malo konfuzno u pocetku, nadam se da sam bar malo pomogao. Nakon sto sam uradio nekoliko primera meni se sve razjasnilo i sad znam da uradim vecinu zadataka iz ove oblasti.

diopo je napisao:Ako je sve ovo tacno, sta bi radio recimo za slucaj [inlmath]n=2018[/inlmath] i [inlmath]k\in\left\{0,5,15,25,35,\ldots\right\}\;[/inlmath]?
Da li bi, prateci onaj gore postupak moglo da se radi ovako: [inlmath](2019-6):10=201(3)+2\;[/inlmath]?

Ja se kod ovakvih problema ne bih držao nekih šablona koji mogu samo da zbune. Preporučujem ti da radiš na bilo koji način koji ti je jasan i logičan. Konkretno kod ovog primera, lično bih radio tako što bih prvo ignorisao nulu, zatim odredio broj onih brojeva iz intervala koji su deljivi sa [inlmath]5[/inlmath] (njih je [inlmath]403[/inlmath]), od tog broja bih zatim oduzeo broj onih brojeva koji su deljivi sa [inlmath]10[/inlmath] (njih je [inlmath]201[/inlmath]), time bih dobio [inlmath]202[/inlmath] i sad bih na to još dodao [inlmath]1[/inlmath] (zbog one nule koju sam u startu ignorisao).

DzoniMaler je napisao:[dispmath]T_{k+1}={n\choose k}a^{n-k}\;b^k[/dispmath] Sada ako ti se traze racionalni clanovi gledas da [inlmath]n-k\in\mathbb{N}[/inlmath] i [inlmath]k\in\mathbb{N}[/inlmath].

Ovo je malo neprecizno napisano – naravno da će uvek važiti [inlmath]n-k\in\mathbb{N}[/inlmath] i [inlmath]k\in\mathbb{N}[/inlmath] jer su i [inlmath]n[/inlmath] i [inlmath]k[/inlmath] prirodni brojevi (doduše, da budem i ja sasvim precizan, [inlmath]n-k[/inlmath] i [inlmath]k[/inlmath] mogu biti još i nula). Bilo bi korektnije reći da, ako imamo razvoj [inlmath]\left(\sqrt[p]a+\sqrt[q]b\right)^n=\sum\limits_{k=0}^n{n\choose k}a^\frac{n-k}{p}b^\frac{k}{q}[/inlmath], gde su [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath] prosti brojevi (kakve isključivo i daju u ovakvim zadacima), tada, da bi [inlmath]k[/inlmath]-ti član razvoja bio racionalan broj, treba da važi [inlmath]\frac{n-k}{p}\in\mathbb{N}_0[/inlmath] i [inlmath]\frac{k}{q}\in\mathbb{N}_0[/inlmath]. Zapravo, u nastavku si otprilike to i napisao (pokazano na konkretnom primeru), nego me samo „žuljao“ ovaj citirani deo.