MATEMANIJA

Na koliko načina se [inlmath]4[/inlmath] čoveka i dva (različita) slona mogu smestiti u tri kamiona, tako da dva slona ne budu u istom kamionu?

Razmišljanje:

Slonovi se mogu smestiti u kamione u [inlmath]3\choose2[/inlmath]

Za ljude se biraju mogućnosti svi u jedan, ili u dva ...

Koliko dobijete?

Ne znam da li sam razmisljao na ispravan nacin ali evo kako bih ja ovo uradio.

Kamione u koje cemo smestiti slonove biramo na [inlmath]3\choose2[/inlmath] nacina, a onda kog slona cemo u koji kamion na jos [inlmath]2[/inlmath] nacina. Slonove rasporedjujemo u kamione na [inlmath]6[/inlmath] nacina.

Sad za ljude nisam shvatio tacno kako je definisan zadatak, ali ako ih sve stavljamo u jedan kamion onda postoje [inlmath]3[/inlmath] nacina da to uradimo.

Ako ih stavljamo u dva kamiona, prvo biramo kamione na [inlmath]3\choose2[/inlmath] nacina, zatim biramo da li cemo staviti [inlmath]1[/inlmath] i [inlmath]3[/inlmath] coveka u kamione ili po dva coveka. Ako u jedan kamion stavljamo jednog coveka a u drugi tri, to cinimo tako sto izaberemo jednog od cetvorice na [inlmath]4\choose1[/inlmath] nacina i stavimo ga u jedan od dva kamiona na [inlmath]2[/inlmath] nacina. Sve u svemu [inlmath]4\cdot2=8[/inlmath] nacina. Ako u kamione stavljamo po dva coveka, prvo izaberemo dvojicu na [inlmath]4\choose2[/inlmath] nacina a onda biramo jedan od dva kamiona na [inlmath]2[/inlmath] nacina. U tom slucaju [inlmath]6\cdot2=12[/inlmath] nacina. Kada stavljamo ljude u [inlmath]2[/inlmath] kamiona imamo [inlmath]12+8=20[/inlmath] nacina da ih rasporedimo. [inlmath]20\cdot{3\choose2}=60[/inlmath]. Ljude rasporedjujemo u kamione na [inlmath]\underline{60+3=63}[/inlmath] zbog jos ona tri nacina kada svi idu u isti kamion.

Na kraju ispada [inlmath]6\cdot63=378[/inlmath]. Neka me neko ispravi ako sam pogresio u nekom koraku.

To je ovaj test, poslednji (dvadeseti) zadatak. Ponuđeni odgovori su:
[inlmath](A)\;486\quad[/inlmath] [inlmath](B)\;729\quad[/inlmath] [inlmath](C)\;720\quad[/inlmath] [inlmath](D)\;360\quad[/inlmath] [inlmath](E)\;120[/inlmath]
Tačan odgovor je pod [inlmath](A)[/inlmath].

DzoniMaler je napisao:Kamione u koje cemo smestiti slonove biramo na [inlmath]3\choose2[/inlmath] nacina, a onda kog slona cemo u koji kamion na jos [inlmath]2[/inlmath] nacina. Slonove rasporedjujemo u kamione na [inlmath]6[/inlmath] nacina.

To su, zapravo, varijacije bez ponavljanja, [inlmath]V_3^2=3\cdot2[/inlmath].

DzoniMaler je napisao:Ako u kamione stavljamo po dva coveka, prvo izaberemo dvojicu na [inlmath]4\choose2[/inlmath] nacina a onda biramo jedan od dva kamiona na [inlmath]2[/inlmath] nacina. U tom slucaju [inlmath]6\cdot2=12[/inlmath] nacina.

Na ovaj način si svaki slučaj računao dva puta. Recimo da su četiri čoveka označena sa [inlmath]A[/inlmath], [inlmath]B[/inlmath], [inlmath]C[/inlmath] i [inlmath]D[/inlmath]. Slučaj da su u prvom kamionu [inlmath]AB[/inlmath] a u drugom [inlmath]CD[/inlmath] dobićeš tako što od [inlmath]ABCD[/inlmath] izabereš [inlmath]AB[/inlmath] a zatim biraš prvi od ukupno dva posmatrana kamiona. Međutim, isti raspored dobijaš ako od [inlmath]ABCD[/inlmath] izabereš [inlmath]CD[/inlmath] pa ih postaviš u drugi od dva posmatrana kamiona – tada će [inlmath]AB[/inlmath] opet ići u onaj prvi kamion, tako da je to zapravo jedan isti slučaj. Zato broj slučajeva koji si dobio treba još da podeliš sa [inlmath]2[/inlmath].

I, nisi razmatrao slučaj da u jedan kamion idu dva čoveka, a u svaki od preostala dva kamiona po jedan čovek ([inlmath]2+1+1[/inlmath]).