MATEMANIJA

Imam jedan zadatak koji u dva različita udžbenika (istog izdavača) ima različita rješenja.
Prepisat ću točno tekst zadatka i rješenje kako je dano u svakom od udžbenika zasebno.

• Na koliko se načina mogu načiniti [inlmath]4[/inlmath] mješovita para od [inlmath]10[/inlmath] tenisača i [inlmath]6[/inlmath] tenisačica?
  
  Rješenje: [inlmath]C_{10}^4\cdot C_6^4\cdot4![/inlmath]
  
  
• Na koliko se načina od [inlmath]10[/inlmath] tenisača i [inlmath]6[/inlmath] tenisačica mogu načiniti [inlmath]4[/inlmath] mješovita para.
  
  Rješenje: Prema teoremu o uzastopnom prebrojavanju jednog od [inlmath]10[/inlmath] tenisača i jednu od [inlmath]6[/inlmath] tenisačica možemo odabrati na [inlmath]10\cdot6[/inlmath] načina. Od preostalih [inlmath]9[/inlmath] tenisača i [inlmath]5[/inlmath] tenisačica par možemo složiti na [inlmath]9\cdot5[/inlmath] načina, zatim od preostalih možemo složiti [inlmath]8\cdot4[/inlmath] i na kraju još [inlmath]7\cdot3[/inlmath] para. Tako je ukupan broj mogućnosti izbora četiri mješovita para od [inlmath]10[/inlmath] tenisača i [inlmath]6[/inlmath] tenisačica jednak [inlmath]\frac{10!}{2}[/inlmath].

Da li je moguće da se zadatak može interpretirati na dva različita načina?

Da još napomenem da je prva verzija zadatka dana u poglavlju Princip uzastopnog prebrojavanja u kojem su se radile varijacije, a rješenje zadatka je dano s kombinacijama, no kombinacije se rade još jedno poglavlje kasnije.

Tekstovi zadataka su nedorečeni. Nije naznačeno da li je bitan redosled izabranih parova ili ne.

Ukoliko redosled izabranih parova nije bitan, tačno je prvo rešenje, tj. [inlmath]C_{10}^4\cdot C_6^4\cdot4![/inlmath]. To rešenje se još može zapisati i kao [inlmath]C_{10}^4\cdot V_6^4[/inlmath]. Dakle, prvo od [inlmath]10[/inlmath] tenisera biramo njih [inlmath]4[/inlmath] (nebitno kojim redosledom), a zatim, pošto smo tenisere naknadno sortirali (npr. po abecednom redu prezimena, ili po visini, ili čemu već), biramo i [inlmath]4[/inlmath] teniserke od raspoloživih [inlmath]6[/inlmath] pre čemu sada njihov redosled jeste bitan, kako bi bilo tačno određeno koja teniserka će biti u paru s kojim teniserom.

Ukoliko je, pak, bitan redosled izabranih parova, tada je tačno drugo rešenje. Pošto izabranih parova ima ukupno [inlmath]4[/inlmath], logično je da rezultat u ovom slučaju (kada je redosled izabranih parova bitan) bude [inlmath]4![/inlmath] puta veći nego u prvom slučaju (kada redosled izabranih parova nije bitan). I, zaista, ako [inlmath]\frac{10!}{2}[/inlmath] podeliš sa [inlmath]C_{10}^4\cdot C_6^4\cdot4![/inlmath], dobićeš upravo to, tj. [inlmath]4![/inlmath].

Da, mislim da otprilike razumijem razliku vratit ću se još na problem malo kasnije dok prođem kombinacije. Hvala!