MATEMANIJA

Pozdrav, imam malih poteskoca sa kombinatorikom pa bih zamolio za pomoc. Na koliko razlicitih nacina za okruglim stolom mozemo rasporediti [inlmath]4[/inlmath] decaka i [inlmath]4[/inlmath] devojcice, tako da svaka dva suseda budu razlicitih polova?

Inace pokusavao sam da odredim prvo koliko decaka se moze rasporediti na [inlmath]4[/inlmath] pozicije (to bi bilo [inlmath]4![/inlmath]) i izmedju njih (na [inlmath]4[/inlmath] mesta) stavljamo [inlmath]4[/inlmath] devojcice koje se na ta [inlmath]4[/inlmath] mesta mogu rasporediti takodje na [inlmath]4![/inlmath] nacina dakle nacini na koji se oni mogu izmesati su [inlmath]4!\cdot4![/inlmath] Medjutim u resenju se navodi [inlmath]3!\cdot4![/inlmath] Ali ne razumem zasto

Pozdrav. Nisi vodio računa o tome da se kod kružnog rapoređivanja sve rotacije jednog rasporeda računaju kao taj jedan raspored, a ne kao zasebni rasporedi. Konkretno, posmatrajmo sledeća četiri slučaja (dečake sam označio numerisanim plavim kvadratićima od [inlmath]1[/inlmath] do [inlmath]4[/inlmath], a devojčice sam označio numerisanim roze kvadratićima takođe od [inlmath]1[/inlmath] do [inlmath]4[/inlmath]):
[dispmath]\begin{matrix}
& \!\!\!\colorbox{lightblue}1 & \!\!\!\colorbox{pink}3 &\\
\colorbox{pink}4 & & & \!\!\!\colorbox{lightblue}4\\
\colorbox{lightblue}3 & & & \!\!\!\colorbox{pink}1\\
& \!\!\!\colorbox{pink}2 & \!\!\!\colorbox{lightblue}2 &
\end{matrix}\qquad\begin{matrix}
& \!\!\!\colorbox{lightblue}3 & \!\!\!\colorbox{pink}4 &\\
\colorbox{pink}2 & & & \!\!\!\colorbox{lightblue}1\\
\colorbox{lightblue}2 & & & \!\!\!\colorbox{pink}3\\
& \!\!\!\colorbox{pink}1 & \!\!\!\colorbox{lightblue}4 &
\end{matrix}[/dispmath]
[dispmath]\begin{matrix}
& \!\!\!\colorbox{lightblue}2 & \!\!\!\colorbox{pink}2 &\\
\colorbox{pink}1 & & & \!\!\!\colorbox{lightblue}3\\
\colorbox{lightblue}4 & & & \!\!\!\colorbox{pink}4\\
& \!\!\!\colorbox{pink}3 & \!\!\!\colorbox{lightblue}1 &
\end{matrix}\qquad\begin{matrix}
& \!\!\!\colorbox{lightblue}4 & \!\!\!\colorbox{pink}1 &\\
\colorbox{pink}3 & & & \!\!\!\colorbox{lightblue}2\\
\colorbox{lightblue}1 & & & \!\!\!\colorbox{pink}2\\
& \!\!\!\colorbox{pink}4 & \!\!\!\colorbox{lightblue}3 &
\end{matrix}[/dispmath] Može se uočiti da sva ova četiri slučaja predstavljaju jedan isti raspored, samo različito zarotiran. Pošto postoji [inlmath]4[/inlmath] načina na koji se svaki od ovakvih rasporeda može zarotirati (pri čemu su fiksirana mesta za dečake i mesta za devojčice), ti si računajući na ovaj način dobio rezultat koji je [inlmath]4[/inlmath] puta veći od tačnog.

Do tačnog rešenja, dakle, možeš doći na jedan od dva načina:

• tako što ćeš raditi ovako kako si krenuo, pa zatim krajnji rezultat podeliti brojem mogućih rotacija (tj. podeliti sa [inlmath]4[/inlmath]);
• tako što ćeš u startu fiksirati jednu osobu (bilo dečaka, bilo devojčicu), a ostale raspoređivati u odnosu na tu osobu: prvo na preostala [inlmath]3[/inlmath] mesta raspoređuješ osobe istog pola kao i te početne osobe (takvih mogućnosti raspoređivanja je [inlmath]3![/inlmath]), a zatim na preostala [inlmath]4[/inlmath] mesta raspoređuješ one [inlmath]4[/inlmath] osobe suprotnog pola (takvih mogućnosti raspoređivanja je [inlmath]4![/inlmath]).

Dodao sam ti Latex u post, sigurno primećuješ da je sad pregledniji. Molim te da ubuduće koristiš Latex (tačka 13. Pravilnika), za koji na forumu postoji uputstvo.

Hvala puno