MATEMANIJA

Pozdrav svima,
Zadatak glasi: "Na koliko nacina se [inlmath]9[/inlmath] knjiga moze podeliti na [inlmath]3[/inlmath] police tako da na svakoj budu po [inlmath]3[/inlmath] knjige?" Ono sto mi nije jasno u vezi zadatka je kako to da resenje jednostavno nije [inlmath]9![/inlmath] jer se radi o [inlmath]9[/inlmath] razlicitih knjiga i kako je to povezano sa rasporedom na policama. Unapred hvala na odgovoru.

Tekst zadatka nije baš sasvim precizan. Nejasno je da li je bitan redosled knjiga na svakoj od polica ili nije, da li je bitan redosled samih polica itd.
Kako znaš da rezultat nije [inlmath]9!\;[/inlmath]? (Pretpostavljam da tačan rezultat nemaš, čim nam ga nisi napisao.)

Imam samo konacno resenje koje glasi [inlmath]\frac{9!}{(3!)^3}[/inlmath]. Moguce je da tekst zadatka nije dovoljno precizan.

Pozdrav! Pošto je tekst nedorečen, onda se uz pretpostavku da redosled knjiga, a ni polica nije bitan dolazi do zaključka da se radi o kombinacijama. Odnosno, za prvu policu izabraćemo [inlmath]3[/inlmath] od [inlmath]9[/inlmath] elemenata, za drugu [inlmath]3[/inlmath] od preostalih [inlmath]6[/inlmath] i, na kraju, za treću [inlmath]3[/inlmath] od ostala [inlmath]3[/inlmath] elementa.
[dispmath]{9\choose3}{6\choose3}{3\choose3}=\frac{9!}{3!\cdot6!}\cdot\frac{6!}{3!\cdot3!}=\frac{9\cdot8\cdot7\cdot\cancel{6!}}{3!\cdot\cancel{6!}}\cdot\frac{6\cdot5\cdot4\cdot3!}{3!\cdot3!}=\frac{9!}{(3!)^3}=1680[/dispmath]

---

Ipak, da je redosled polica bio bitan, onda bi rezultat umnožili brojem permutacija date [inlmath]3[/inlmath] police, to jest rešenje bi bilo:
[dispmath]\frac{9!}{(3!)^3}\cdot3!=1680\cdot6=10\:080[/dispmath] Takođe, da je redosled knjiga na policama bio bitan, onda ne bi imali kombinacije, već varijacije, ali pošto već imaš rešenje zadatka, ne bih se i time bavio...

---

Nadam se da sam ispravno rezonovao

Hvala na odgovorima, sada mi je jasan zadatak.

@DraganKese (a i ostali), kad god imaš kod sebe krajnji rezultat, potrebno je da ga odmah uz zadatak i napišeš, kako to i nalaže tačka 11. Pravilnika. A i bez Pravilnika, valjda je sasvim logično da to treba učiniti.

Jovan111 je napisao:Pošto je tekst nedorečen, onda se uz pretpostavku da redosled knjiga, a ni polica nije bitan dolazi do zaključka da se radi o kombinacijama. Odnosno, za prvu policu izabraćemo [inlmath]3[/inlmath] od [inlmath]9[/inlmath] elemenata, za drugu [inlmath]3[/inlmath] od preostalih [inlmath]6[/inlmath] i, na kraju, za treću [inlmath]3[/inlmath] od ostala [inlmath]3[/inlmath] elementa.
[dispmath]{9\choose3}{6\choose3}{3\choose3}=\frac{9!}{3!\cdot6!}\cdot\frac{6!}{3!\cdot3!}=\frac{9\cdot8\cdot7\cdot\cancel{6!}}{3!\cdot\cancel{6!}}\cdot\frac{6\cdot5\cdot4\cdot3!}{3!\cdot3!}=\frac{9!}{(3!)^3}=1680[/dispmath]

Ovaj postupak bi se odnosio na pretpostavku da redosled polica jeste bitan. Jer, prvo si birao tri knjige za prvu policu, pa si birao sledeće tri knjige za drugu policu, i preostale tri knjige idu na treću policu.
A ako želimo da dobijemo broj mogućih rasporeda za varijantu u kojoj redosled polica nije bitan, e tada bismo još ovaj rezultat podelili sa [inlmath]3![/inlmath].

Dakle, po rezultatu koji treba da se dobije, [inlmath]\frac{9!}{(3!)^3}[/inlmath], zaključujemo da se u zadatku podrazumevalo da redosled polica jeste bitan, a da redosled knjiga na polici nije bitan. I na ovom primeru se još jednom vidi koliko je važno priložiti krajnji rezultat, jer on kod ovako nejasnog teksta zadatka može otkloniti nedoumicu.
Sada kad znamo šta se tačno traži u zadatku, ovo možemo rešiti i na drugi način – tako što prvo odredimo broj svih permutacija knjiga, a to je [inlmath]9![/inlmath], zatim to podelimo brojem njihovih rasporeda na svakoj od polica (jer rasporedi knjiga po policama nisu bitni), a to je [inlmath]3![/inlmath] za svaku policu, tj. [inlmath](3!)^3[/inlmath] za sve tri police. I time dobijamo rezultat [inlmath]\frac{9!}{(3!)^3}[/inlmath].