MATEMANIJA

Zdravo.
Zadatak: "Neka je [inlmath]X=\{1,2,3,4,5\}[/inlmath]. Koliko ima funkcija [inlmath]f\colon X\to X[/inlmath] za koje važ [inlmath]f=f^{-1}[/inlmath]"?

Resenja [inlmath]A-1[/inlmath]; [inlmath]B-5[/inlmath]; [inlmath]C-26[/inlmath]; [inlmath]D-16[/inlmath]; [inlmath]E-120[/inlmath].
Tačan odgovor je [inlmath]C[/inlmath].

Ja mislim da bi ovo trebalo biti bijektivno preslikavanje te odmah nalazi jedno - da sa svaki element slika u samog sebe. Onda od [inlmath]5[/inlmath] biram [inlmath]2[/inlmath] tako da izabrem pocetni par npr. [inlmath]1[/inlmath] i [inlmath]2[/inlmath] tako da se [inlmath]1\to2[/inlmath] i [inlmath]2\to1[/inlmath]; pa onda [inlmath]1[/inlmath] i [inlmath]3[/inlmath] tako da [inlmath]1\to3[/inlmath] i [inlmath]3\to1[/inlmath] ...na kraju [inlmath]4[/inlmath] i [inlmath]5[/inlmath] tako da [inlmath]5\to4[/inlmath] i [inlmath]4\to5[/inlmath]. Dakle od [inlmath]5[/inlmath] biram [inlmath]2[/inlmath] i mnozim sa [inlmath]4[/inlmath] (svaki od preostala [inlmath]3[/inlmath] se slika u samog sebe ([inlmath]1[/inlmath] nacin) i biram dva koja se slikaju jedan u drugog (od [inlmath]3[/inlmath] biram [inlmath]2[/inlmath]). To će biti [inlmath]1+\frac{5\cdot4}{2}\cdot4=31[/inlmath]. Jasno mi je da sam ukljucio neke po dva put ali ne mogu to da korigujem. Molim za pomoć.

P.S. Naravno ne morate se voditi ovom idejom.

Molim te da koristiš Latex. Budući da si pitanje lepo postavio, kao novom korisniku sam ti ovaj put progledao kroz prste i dodao Latex u tvoj post.

Da, neke slučajeve si računao dvaput. Kad odabereš jedan par na [inlmath]5\choose2[/inlmath] načina, a zatim drugi par na [inlmath]3\choose2[/inlmath] načina, dobijaš dvaput veći broj slučajeva od stvarnog. Npr. kad prvo odabereš [inlmath]1\to3[/inlmath] i [inlmath]3\to1[/inlmath] a zatim [inlmath]2\to5[/inlmath] i [inlmath]5\to2[/inlmath], to je isti slučaj kao da si prvo odabrao [inlmath]2\to5[/inlmath] i [inlmath]5\to2[/inlmath] a zatim [inlmath]1\to3[/inlmath] i [inlmath]3\to1[/inlmath].

Imali smo vrlo sličan zadatak pre dva meseca, u kojem je sve to izvedeno i za opšti slučaj od [inlmath]n[/inlmath] elemenata.

Hvala na odgovoru mada ja jos nisam bas upućen sa sredstvima koja se tamo koriste i nije mi bas najjasnije . Racunao sam nesto po dva put ali izgleda nisam sve jer bi mi odgovor onda bio [inlmath]\frac{30}{2}=15[/inlmath] plus onaj jedan [inlmath]15+1=16[/inlmath].
Mada u rešenju se ipak navodi [inlmath]26[/inlmath].

Znači, imaš tri vrste mogućih funkcija koje zadovoljavaju dati uslov:

• funkcija kod koje se svaki element slika u samog sebe (postoji jedna takva funkcija – [inlmath]f(x)=x[/inlmath]);
• funkcije s jednim „ukrštenim parom“ pri čemu se preostala tri elementa slikaju sami u sebe (možeš se poslužiti slikom u ovom postu) – takvih funkcija ima [inlmath]5\choose2[/inlmath];
• funkcije s dva „ukrštena para“ pri čemu se jedan preostali element slika u samog sebe – ako bismo broj tih funkcija računali po formuli [inlmath]{5\choose2}{3\choose2}[/inlmath] dobili bismo dvaput veći broj funkcija od stvarnog (iz razloga koji sam naveo u svom prethodnom postu), pa je ovaj broj potrebno još podeliti sa [inlmath]2[/inlmath].

Hvala.
Sad je jasno