MATEMANIJA

[dispmath]{n\choose k-1}=3003\\
{n\choose k}=2002[/dispmath] treba odrediti vrednosti od [inlmath]n[/inlmath] i [inlmath]k[/inlmath]
pokusao sam uraditi ovaj zadatak na par nacina nijedan nije bio uspesan
zamolio bih ako neko zna uraditi ovaj zadatak da mi da neku ideju

Pozdrav! Treba znati da važi
[dispmath]{n\choose k}=\frac{n!}{\left(n-k\right)!k!}[/dispmath] pri čemu je [inlmath]0\le k\le n[/inlmath].

---

Ako primenimo prethodnu formulu, imamo
[dispmath]{n\choose k-1}=\frac{n!}{\bigl(n-(k-1)\bigr)!(k-1)!}=\frac{n!}{\left(n-k+1\right)!(k-1)!}[/dispmath] Sada je ideja da jednačine
[dispmath]\frac{n!}{\left(n-k+1\right)!(k-1)!}=3003\;\land\;\frac{n!}{\left(n-k\right)!k!}=2002[/dispmath] podelimo, te dobijamo
[dispmath]\frac{\frac{\cancel{n!}}{\left(n-k+1\right)!(k-1)!}}{\frac{\cancel{n!}}{\left(n-k\right)!k!}}=\frac{3003}{2002}\iff\frac{\left(n-k\right)!k!}{\left(n-k+1\right)!(k-1)!}=\frac{3}{2}[/dispmath] Sada možemo raspisati [inlmath]k!=k\cdot(k-1)![/inlmath], kao i [inlmath](n-k+1)!=(n-k+1)(n-k)![/inlmath], što ćemo uvrstiti:
[dispmath]\frac{\left(n-k\right)!k!}{\left(n-k+1\right)!(k-1)!}=\frac{3}{2}\iff\frac{\cancel{\left(n-k\right)!}k\cdot\cancel{(k-1)!}}{(n-k+1)\cancel{(n-k)!}\cancel{(k-1)!}}=\frac{3}{2}[/dispmath][dispmath]\Longrightarrow\;\frac{k}{n-k+1}=\frac{3}{2}\tag1[/dispmath] Odavde možemo zaključiti da je [inlmath]k[/inlmath] deljivo sa [inlmath]3[/inlmath], to jest da se može napisati kao [inlmath]k=3l[/inlmath]. Sa druge strane, ako iskoristimo [inlmath](1)[/inlmath] dobićemo da je
[dispmath]n=\frac{5k-3}{3}=\frac{15l-3}{3}=5l-1[/dispmath] Kako znamo da su nam polazne jednačine bile
[dispmath]{n\choose k-1}=3003\;\land\;{n\choose k}=2002[/dispmath] a [inlmath]2002[/inlmath] i [inlmath]3003[/inlmath] su deljivi sa [inlmath]13[/inlmath], onda mora biti i [inlmath]n\ge13[/inlmath], to jest (pošto je [inlmath]n=5l-1[/inlmath]) [inlmath]l\ge3[/inlmath]. Ako bi probali najmanju vrednost [inlmath]l=3[/inlmath], tada bi rešenja bila [inlmath]n=14[/inlmath] i [inlmath]k=9[/inlmath]. Pretpostavljam da je ovo rešenje

hvala ti Jovan111

ako nije problem nisam razumeo kako si zakljucio da je
[dispmath]n=\frac{5k-3}{3}=\frac{15l-3}{3}=5l-1[/dispmath] i takodje deo gde si rekao "onda mora biti i [inlmath]n\ge13[/inlmath], to jest (pošto je [inlmath]n=5l-1[/inlmath]) [inlmath]l\ge3[/inlmath]"

hvala ti unapred

Jovan111 je napisao:[dispmath]\Longrightarrow\;\frac{k}{n-k+1}=\frac{3}{2}\tag1[/dispmath] Odavde možemo zaključiti da je [inlmath]k[/inlmath] deljivo sa [inlmath]3[/inlmath], to jest da se može napisati kao [inlmath]k=3l[/inlmath].

Pretpostavljam da si shvatio ovaj deo mog prethodnog posta. Sada ako uvrstiš u izraz označen sa [inlmath](1)[/inlmath] da je [inlmath]k=3l[/inlmath] imao bi:
[dispmath]\frac{3l}{n-3l+1}=\frac{3}{2}\iff6l=3n-9l+3\iff n=\frac{15l-3}{3}=5l-1[/dispmath] Nadam se da ti je sada jasnije kako smo odredili da je [inlmath]n=5l-1[/inlmath].

---

Jovan111 je napisao:Kako znamo da su nam polazne jednačine bile
[dispmath]{n\choose k-1}=3003\;\land\;{n\choose k}=2002[/dispmath] a [inlmath]2002[/inlmath] i [inlmath]3003[/inlmath] su deljivi sa [inlmath]13[/inlmath], onda mora biti i [inlmath]n\ge13[/inlmath], to jest (pošto je [inlmath]n=5l-1[/inlmath]) [inlmath]l\ge3[/inlmath].

Ako ti ovo nije jasno, pogledajmo primer:
[dispmath]{{\color{red}14}\choose 7}=3432[/dispmath] Ovaj binomni koeficijent daje rezultat [inlmath]3432[/inlmath]. Broj [inlmath]3432[/inlmath] može se prikazati preko svojih prostih činilaca kao [inlmath]3432=2^3\cdot3\cdot11\cdot13[/inlmath]. Primetimo da je broj [inlmath]14[/inlmath], koji je analogan broju [inlmath]n[/inlmath] u binomnom koeficijentu [inlmath]n\choose k[/inlmath], veći od svih prostih činilaca broja [inlmath]3432[/inlmath]! Tako je i [inlmath]n[/inlmath] u jednakostima:
[dispmath]{n\choose k-1}=3003\;\land\;{n\choose k}=2002[/dispmath] morao biti veći (ili jednak) od svih prostih činilaca brojeva [inlmath]3003=3\cdot7\cdot11\cdot13[/inlmath] i [inlmath]2002=2\cdot7\cdot11\cdot13[/inlmath]. Kako je najveći od pomenutih prostih činilaca [inlmath]13[/inlmath], zaključujemo da je [inlmath]n\ge13[/inlmath]. Tada je i više nego jasno da je [inlmath]l[/inlmath] u najmanju ruku jednako [inlmath]3[/inlmath], a može biti i veće od [inlmath]3[/inlmath].

---

Ako ti je teže da ovako nešto odmah zaključiš možeš proveriti ručno, za [inlmath]l=1[/inlmath], [inlmath]l=2[/inlmath], [inlmath]l=3[/inlmath], ...

• Ako bi uzeo [inlmath]l=1[/inlmath], onda bi imao [inlmath]k=3l=3[/inlmath] i [inlmath]n=5l-1=4[/inlmath], što bi dalo [inlmath]{n\choose k}={4\choose3}=4[/inlmath].
• Ako bi uzeo [inlmath]l=2[/inlmath], onda bi imao [inlmath]k=3l=6[/inlmath] i [inlmath]n=5l-1=9[/inlmath], što bi dalo [inlmath]{n\choose k}={9\choose6}=84[/inlmath].
• Ako bi uzeo [inlmath]l=3[/inlmath], onda bi imao [inlmath]k=3l=9[/inlmath] i [inlmath]n=5l-1=14[/inlmath], što bi dalo [inlmath]{n\choose k}={14\choose9}=2002[/inlmath].

I onda uočiš da si upravo za [inlmath]l=3[/inlmath] došao do zaklučka da je [inlmath]{n\choose k}=2002[/inlmath], što je i slučaj (jer je tako dato u postavci zadatka). Međutim, ovakvo traganje za rezultatom je "koračanje vrlo neutabanom stazom", te ga ne preporučujem.

hvala ti sto si se potrudio za ovo, meni je dosta znacilo

[dispmath]\left(\frac{2}{x^2}+\sqrt x\right)^n[/dispmath] Zbir binomnih koeficijenata prva tri clana je [inlmath]29[/inlmath], odrediti [inlmath]n[/inlmath] i izracunati drugi clan u razvoju binoma.

Ovako, ja sam izracunao [inlmath]n[/inlmath] preko
[dispmath]{n\choose0}+{n\choose1}+{n\choose2}=29[/dispmath] i kvadratne jednacine i dobijem [inlmath]n=12[/inlmath]
A u zbirci pise da treba da bude [inlmath]n=7[/inlmath] a drugi član [inlmath]448x^{-23\over2}[/inlmath]
Znam da izracunam drugi član kada imam [inlmath]n[/inlmath] i [inlmath]k[/inlmath] ali ne razumem da li sam ja pogresio u postupku racunanja [inlmath]n[/inlmath] ili je pogresno napisano u zbirci.

Skontao sam da nisam dobro [inlmath]n[/inlmath] izracunao tako sto sam samo [inlmath]n[/inlmath] ubacio u pocetno i video sam da nije [inlmath]12[/inlmath]. Kasnije sam ispravio gresku, sve je u redu.