MATEMANIJA

Drugi probni prijemni ispit FON – 20. jun 2019.
20. zadatak

Broj svih desetocifrenih brojeva deljivih sa [inlmath]5[/inlmath] koji u zapisu sadrže tačno dve cifre [inlmath]0[/inlmath] i sadrže osam različitih cifara među kojima nije cifra [inlmath]1[/inlmath], jednak je:
[inlmath]A)\;64\cdot7!;\quad[/inlmath] [inlmath]B)\;92\cdot7!;\quad[/inlmath] [inlmath]C)\;92\cdot8!;\quad[/inlmath] [inlmath]D)\;82\cdot7!;\quad[/inlmath] [inlmath]E)\;60\cdot8!;\qquad[/inlmath] [inlmath]N)\;\text{Ne znam.}[/inlmath]

Krenula sam da razmatram slučaj kada je [inlmath]5[/inlmath] na kraju, i dobila da imam takvih
[dispmath]49\cdot7![/dispmath] a nakon toga slučaj kada je [inlmath]0[/inlmath] na poslednjem mestu a na prvom ne sme stajati. Dobila sam
[dispmath]64\cdot7![/dispmath] međutim kada saberem ova dva broja ne dobijam rešenje pod [inlmath]B[/inlmath]. Da li postoji neki drugi način za ovo? Čini mi se da mi pristup nije dobar ali ne pada mi ništa drugo na pamet.

Dobar ti je pristup. Tačno si odredila broj slučajeva kada je [inlmath]0[/inlmath] na poslednjem mestu, ali negde imaš grešku u određivanju broja slučajeva kada je [inlmath]5[/inlmath] na poslednjem mestu.

Hvala, bar nešto da znam. Probaću opet.

Ovako mi izgledaju crtice:

[inlmath]1.[/inlmath] mesto - [inlmath]7[/inlmath] cifri ([inlmath]2,3,4,6,7,8,9[/inlmath] jer ne sme nula na početku)
[inlmath]2.[/inlmath] mesto - [inlmath]8[/inlmath] cifri([inlmath]2[/inlmath] nule i još [inlmath]6[/inlmath] neiskorišćenih brojeva)
[inlmath]3.[/inlmath] mesto - [inlmath]7[/inlmath] cifri
[inlmath]4.[/inlmath] mesto - [inlmath]6[/inlmath]
[inlmath]5.[/inlmath] - [inlmath]5[/inlmath]
[inlmath]6.[/inlmath] - [inlmath]4[/inlmath]
[inlmath]7.[/inlmath] - [inlmath]3[/inlmath]
[inlmath]8.[/inlmath] - [inlmath]2[/inlmath]
[inlmath]9.[/inlmath] - [inlmath]1[/inlmath]
[inlmath]10.[/inlmath] - [inlmath]1[/inlmath] cifra ([inlmath]5[/inlmath])
[dispmath]7\cdot8\cdot7![/dispmath]

---

Edit: Našla sam broj kombinacija koliko puta nule mogu da se jave na [inlmath]8[/inlmath] mesta što je
[dispmath]{8\choose2}=28[/dispmath] i to se množi sa ostalih [inlmath]7![/inlmath] cifara (bez [inlmath]0,1,5[/inlmath]) i sledi:
[dispmath]28\cdot7!+64\cdot7!=92\cdot7![/dispmath]
Nadam se da je ovo dobar način

Da, to je dobar način. Može i onako kako si prvobitno krenula, s tim da taj rezultat ([inlmath]7\cdot8\cdot7![/inlmath]) još podeliš sa [inlmath]2[/inlmath]. Zašto sa [inlmath]2[/inlmath] – zato što si, radeći na taj način, dobila dvaput veći rezultat od stvarnog, budući da si jednu i drugu nulu tretirala kao različite cifre, tako da si svaki od desetocifrenih brojeva u kojima se pojavljuju dve nule računala dva puta.

Mislim da je s kombinacijama mnogo jasnije jer čak i kad se nacrtaju crtice, prva će biti rezervisana za neku od [inlmath]7[/inlmath] cifara, sledećih [inlmath]8[/inlmath] će popuniti [inlmath]2[/inlmath] nule što nam dalje ostavlja [inlmath]6[/inlmath] mesta (i [inlmath]6[/inlmath] cifara jer je [inlmath]1[/inlmath] uzeta za prvo mesto pa je zato to faktorijel na kraju) za cifre koje nisu nule, a poslednja je rezervisana za peticu. Nadam se da će i ostalima značiti.

Dobro veče, dobri ljudi!

Imam jedno pitanje vezano za ovaj zadatak, jer evo već pola sata se trudim da protumačim rešenje koje su skovali Daniel i Kaća, i baš mi nikako ne ide.

Da li se u ovom zadatku misli da traženi brojevi imaju tačno dve nule i pored njih [inlmath]8[/inlmath] različitih cifara među kojima nije jedinica, ili se misli da sveukupno imaju [inlmath]8[/inlmath] različitih cifara?

Hvala vam unapred!

Pozdrav!
Misli se na ovo prvo – dakle, da brojevi imaju tačno dve nule i, pored njih, još [inlmath]8[/inlmath] različitih cifara od kojih nijedna nije ni nula ni jedinica.

Dakle, jedan primer takvog broja bio bi [inlmath]3298074065[/inlmath].

Hvala mnogo, poštovani Daniele!

Hteo sam da se pojedem, jer radim zadatak u drugom slučaju i nikako da dobijem ono što se traži.

Još jedan veliki pozdrav!