MATEMANIJA

Prijemni ispit FON – 6. septembar 2010.
17. zadatak

Neka je [inlmath]X[/inlmath] skup svih petocifrenih brojeva cije cifre pripadaju skupu [inlmath]\{1,2,3\}[/inlmath] i u kojima se svaka cifra tog skupa pojavljuje bar jednom. Broj elemenata skupa [inlmath]X[/inlmath] je:

Ukupan broj petocifrenih brojeva čije cifre pripadaju skupu [inlmath]\{1,2,3\}[/inlmath] predstavlja broj varijacija s ponavljanjem od [inlmath]3[/inlmath] elementa [inlmath]5.[/inlmath] klase:[dispmath]\overline{V_3^5}=3^5[/dispmath] Sada od tog broja treba oduzeti broj onih petocifrenih brojeva kod kojih nisu zastupljene sve [inlmath]3[/inlmath] cifre.

• broj petocifrenih brojeva čije cifre pripadaju skupu [inlmath]\{1,2\}[/inlmath] iznosi [inlmath]\overline{V_2^5}=2^5[/inlmath];
• broj petocifrenih brojeva čije cifre pripadaju skupu [inlmath]\{2,3\}[/inlmath] iznosi [inlmath]\overline{V_2^5}=2^5[/inlmath];
• broj petocifrenih brojeva čije cifre pripadaju skupu [inlmath]\{1,3\}[/inlmath] iznosi [inlmath]\overline{V_2^5}=2^5[/inlmath].

Međutim, ova tri broja ne smemo jednostavno sabrati, jer bismo na taj način brojeve koji su sastavljeni samo od jedne cifre – [inlmath]11111[/inlmath], [inlmath]22222[/inlmath] i [inlmath]33333[/inlmath] obuhvatili dva puta: cifre broja [inlmath]11111[/inlmath] pripadaju skupu [inlmath]\{1,2\}[/inlmath] ali i skupu [inlmath]\{1,3\}[/inlmath], cifre broja [inlmath]22222[/inlmath] pripadaju skupu [inlmath]\{1,2\}[/inlmath] ali i skupu [inlmath]\{2,3\}[/inlmath] i cifre broja [inlmath]33333[/inlmath] pripadaju skupu [inlmath]\{1,3\}[/inlmath] ali i skupu [inlmath]\{2,3\}[/inlmath]. Da brojeve [inlmath]11111[/inlmath], [inlmath]22222[/inlmath] i [inlmath]33333[/inlmath] ne bismo obuhvatili dva puta, potrebno je da prethodno dobijena tri rezultata (tri puta po [inlmath]2^5[/inlmath]) prvo saberemo, a zatim od tog zbira oduzmemo [inlmath]3[/inlmath]:
[dispmath]3\cdot2^5-3[/dispmath] Znači, ukupan broj svih petocifrenih brojeva kod kojih nisu zastupljene sve [inlmath]3[/inlmath] cifre iznosi [inlmath]3\cdot2^5-3[/inlmath].

Taj broj, dakle, oduzimamo od ukupnog broja petocifrenih brojeva čije cifre pripadaju skupu [inlmath]\{1,2,3\}[/inlmath]:
[dispmath]3^5-\left(3\cdot2^5-3\right)=3\left(3^4-2^5+1\right)=3(81-32+1)=3\cdot50=150[/dispmath] i to je broj petocifrenih brojeva čije cifre pripadaju skupu [inlmath]\{1,2,3\}[/inlmath] kod kojih se pojavljuje bar jedna od cifara tog skupa.