MATEMANIJA

Prijemni ispit GRF – 25. jun 2019.
8. zadatak

Od [inlmath]8[/inlmath] dečaka pravi se košarkaški tim od pet igrača. Broj načina na koji se to može uraditi je:
[inlmath]A)\;18;\quad[/inlmath] [inlmath]B)\;336;\quad[/inlmath] [inlmath]\enclose{circle}{C)}\;56;\quad[/inlmath] [inlmath]D)\;144;\quad[/inlmath] [inlmath]E)\;6920;\qquad[/inlmath] [inlmath]N)\;\text{Ne znam.}[/inlmath]

Ovaj zadatak ćemo jednostavno uraditi pomoću formule:
[dispmath]{n\choose k}=\frac{n!}{(n-k)!\cdot k!}[/dispmath] [inlmath]n=8[/inlmath], [inlmath]k=5[/inlmath]
Ubacimo u formulu:
[dispmath]{8\choose5}=\frac{8!}{(8-5)!\cdot5!}\\
{8\choose5}=\frac{8!}{3!\cdot5!}\\
{8\choose5}=\frac{8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}{3\cdot2\cdot1\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}\\
{8\choose5}=\frac{8\cdot7\cancel{\cdot6}\cancel{\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}}{\cancel{3\cdot2}\cdot1\cancel{\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}}\\
{8\choose5}=8\cdot7\\
{8\choose5}=\enclose{box}{56}[/dispmath]

To je teži način (mada je zadatak do te mere elementaran da nijedan način ne može biti previše težak). Lakši način bi bio iskoristiti osobinu binomnog koeficijenta [inlmath]{n\choose k}={n\choose n-k}[/inlmath], po kojoj je u ovom slučaju [inlmath]{8\choose5}={8\choose3}[/inlmath]:
[dispmath]{8\choose5}={8\choose3}=\frac{8\cdot7\cdot\cancel6}{\cancel{3!}}=8\cdot7=56[/dispmath]

Lagan zadatak.