MATEMANIJA

Moze li pomoc oko ovog zadataka, bio je na prijemnom ispitu za FON 2006.
Neka je [inlmath]X[/inlmath] skup svih cetvorocifrenih brojeva cije cifre pripadaju skupu [inlmath][1,2,3][/inlmath], pri cemu se svaka cifra u svakom broju pojavljuje bar jednom. Trazi se broj svih podskupova skupa [inlmath]X[/inlmath].
Krenula sam da nadjem taj skup tako sto od
[dispmath]\overline{V}_4^3[/dispmath] oduzimam slucajeve kada se pojavljuju dva broja, a jedan se uopste ne pojavljuje i to sam racunala kao tri varijacije sa ponavljanjem
[dispmath]\overline{V}^2_4.[/dispmath] Nemam ideju kako dalje da radim i da nadjem podskup i nisam sigurna da li je ovo dobro. Resenje je
[dispmath]2^{5^2}[/dispmath]

andj712 je napisao:cije cifre pripadaju skupu [inlmath][1,2,3][/inlmath],

Kod definisanja skupova preko nabrajanja elemenata treba koristiti vitičaste zagrade, dakle, [inlmath]\{1,2,3\}[/inlmath].

andj712 je napisao:Krenula sam da nadjem taj skup tako sto od
[dispmath]\overline{V}_4^3[/dispmath]

To bi trebalo obeležavati obrnuto – [inlmath]\overline{V}_3^4[/inlmath] (varijacije od [inlmath]3[/inlmath] elementa [inlmath]4.[/inlmath] klase, kojih ima [inlmath]3^4[/inlmath] (mada vidim po raznim literaturama da autori ni oko toga, nažalost, nisu baš 100% usaglašeni).

andj712 je napisao:oduzimam slucajeve kada se pojavljuju dva broja, a jedan se uopste ne pojavljuje i to sam racunala kao tri varijacije sa ponavljanjem
[dispmath]\overline{V}^2_4.[/dispmath]

Ovo je pogrešno, jer u jednom od tri slučaja, kad si izostavila npr. cifru [inlmath]1[/inlmath] i imaš samo cifre [inlmath]2[/inlmath] i [inlmath]3[/inlmath], možeš imati i broj [inlmath]2222[/inlmath] koji ćeš takođe imati i u slučaju kad si izostavila cifru [inlmath]3[/inlmath], što znači da bi slučaj [inlmath]2222[/inlmath] oduzimala dvaput (analogno važi i za brojeve [inlmath]1111[/inlmath] i [inlmath]3333[/inlmath]).
Međutim, taj postupak se dâ korigovati, tako što ćeš na rezultat dodati trojku, koja će kompenzovati to što si svaki od ova tri slučaja oduzela po jedanput više nego što je trebalo (to je zapravo jedna primena teoreme uključenja i isključenja).

A možda ti je lakše da jednostavno uočiš da, pošto među te četiri cifre moraš imati [inlmath]1[/inlmath], [inlmath]2[/inlmath] i [inlmath]3[/inlmath], ona četvrta cifra će biti neka od te tri, tj. imaćeš slučajeve [inlmath]1123[/inlmath], [inlmath]1223[/inlmath] i [inlmath]1233[/inlmath], od kojih sad za svaki tražiš broj permutacija s ponavljanjem. Ili, ne moraš za svaki, dovoljno je da nađeš broj permutacija s ponavljanjem za samo jedan slučaj i da zatim taj broj pomnožiš trojkom, jer je očigledno da će broj permutacija za svaki od ta tri slučaja biti isti.

andj712 je napisao:Nemam ideju kako dalje da radim i da nadjem podskup

Pošto si našla broj elemenata skupa [inlmath]X[/inlmath], broj njegovih podskupova će zapravo biti broj elemenata partitivnog skupa od skupa [inlmath]X[/inlmath]. A to se računa po formuli
[dispmath]\text{card}\bigl(P(X)\bigr)=2^{\text{card}(X)}[/dispmath] gde je [inlmath]\text{card}(X)[/inlmath] kardinalnost iliti broj elemenata skupa [inlmath]X[/inlmath].

andj712 je napisao:Resenje je
[dispmath]2^{5^2}[/dispmath]

Ne, nego [inlmath]2^{6^2}[/inlmath].

Hvala Vam!