MATEMANIJA

Zbir prva [inlmath]3[/inlmath] binomna koeficijenta u razvoju binoma [inlmath]\left(\sqrt[5]2+\frac{1}{\sqrt[5]3}\right)^n[/inlmath] je [inlmath]56[/inlmath]. Clanova koji su racionalni brojevi ima:

Ja sam ovde postavio:
[dispmath]{n\choose0}+{n\choose1}+{n\choose2}=56[/dispmath] i dobio sam da mi je [inlmath]n=10[/inlmath]. Da li mi je ovo potrebno i sta dalje?

Jeste, potrebno ti je. Kada si odredio [inlmath]n[/inlmath], znamo da "dižemo" binom na deseti stepen. U ovom konkretnom zadatku dosta nam olakšava situaciju što u oba sabirka imamo isti (peti) koren. Znamo da [inlmath]\sqrt[5]2[/inlmath] možemo da zapišemo kao [inlmath]2^\frac{1}{5}[/inlmath]. Isto tako znamo da kada ovaj sabirak dignemo na [inlmath]k[/inlmath]-ti stepen, dobićemo [inlmath]2^\frac{k}{5}[/inlmath]. Kada će nam ovaj broj biti racionalan? Naravno, kada je [inlmath]k[/inlmath] deljivo sa [inlmath]5[/inlmath]. U našem konkretnom slučaju, to će se desiti na dva mesta. Jednom kada je [inlmath]k=0[/inlmath] i drugi put kada je [inlmath]k=5[/inlmath]. Sada radimo slično za drugi sabirak i dobijamo da je član razvoja racionalan za [inlmath]k=5[/inlmath] i za [inlmath]k=10[/inlmath]. Odavde sad možemo da zaključimo da ćemo imati tri racionalna člana u razvoju. Jedan za [inlmath]k=0[/inlmath]; drugi za [inlmath]k=5[/inlmath] i treći za [inlmath]k=10[/inlmath].

Posto si nasao broj clanova u razvoju binoma [inlmath]n=10[/inlmath]
Potom cemo [inlmath]\sqrt[5]2[/inlmath] zapisati kao [inlmath]2^{1/5}[/inlmath] i [inlmath]\frac{1}{\sqrt[5]3}[/inlmath] cemo zapisati kao [inlmath]3^{-1/5}[/inlmath]
Trebalo bi da ispises formulu za opsti clan odakle imas
[dispmath]T_k=2^\frac{(n-k)}{5}3^{-\frac{k}{5}}[/dispmath] Kada zamenis [inlmath]n=10[/inlmath]
[dispmath]T_k=2^\frac{(10-k)}{5}3^{-\frac{k}{5}}[/dispmath]
Da bi clan u potpunosti bio racionalan potrebno je da zadovolji uslov da [inlmath]5\vert(10-k)\;\land\;5\vert k[/inlmath] to jest da nadjes sve brojeve [inlmath]k[/inlmath] takve da su deljivi sa [inlmath]5[/inlmath] i dalje da je [inlmath]10-k[/inlmath] deljiv sa [inlmath]5[/inlmath].
Nadam se da dalje mozes sam.