MATEMANIJA

Dobro vece, gospodo!
Imam jedno pitanje koje se ne odnosi na konkretan zadatak vec cu ga malo generalizovati... Naime kada nam se da neki binom, dacu na primer sledeci

[inlmath]\left(\sqrt[3]5+\sqrt3\right)^{2011}[/inlmath], tip zadatka koji zelim da u potpunosti shvatim je sledeci... Moze se traziti ili koji su clanovi razvoja recimo celi brojevi ili racionalni ili iracionalni... Ako moze neko da mi pomogne oko toga da shvatim kako trazim prvu, drugu i trecu varijantu. Inace sam uzeo primer zadatka koji je 17. po redu na prijemnom sa Matf-a 2011. godine...

[inlmath]{n\choose k}x^{n-k}y^k[/inlmath] to je opsta formula, znam da je znate ali cisto napominjem da sam dobro upoznat sa oblascu, i da je cilj mog posta da sve razgranicim sto je bolje moguce.

Sva 3 tipa se svode na to da trazis racionalne clanove, naime.

Ukoliko provedes malo vremena na forumu naci ces nacin kako se trazi broj racionalnih clanova, svodi se na to da ti eksponenti uz [inlmath]x,y[/inlmath] budu celi brojevi.
Time ces obuhvatiti i zadatke gde se traze celobrojna resenja (barem ja nisam naleteo na takav zadatak).
Broj iracionalniih clanova nalazis tako sto ces od ukupnog broja clanova oduzeti broj racionalnih.

Nadam se da sam bio konkretan.

Razvoj ovog binoma bi izgledao ovako (Nemoj da zaboraviš znak za sumu!):
[dispmath]\left(\sqrt[3]5+\sqrt3\right)^{2011}=\sum_{k=0}^{2011}{2011\choose k}5^\frac{2011-k}{3}3^\frac{k}{2}[/dispmath] Sada da vidimo, kada će članovi biti celobrojni? Naravno, kada su oba eksponenta celi brojevi. Dakle, u konkretnom slučaju, potrebna nam je parna vrednost za [inlmath]k[/inlmath], takva da je razlika [inlmath]2011-k[/inlmath] deljiva sa [inlmath]3[/inlmath]. I onda treba da odredimo koliko ima vrednosti [inlmath]k[/inlmath] koje zadovoljavaju ove uslove. Naravno, ukoliko se traži broj iracionalnih članova, broj takvih članova će biti [inlmath]2012[/inlmath] minus broj racionalnih članova.

Nadam se da je ovo odgovor na tvoje pitanje. Ako nije, molim te preciziraj ga još malo.

Pa ovako, Emotivac kaze da je isto za cele i racionalne sto mi nema bas smisla... Nekako je logicnije (bar meni) da ne moze biti isto. Moj rezon je da bi dobili racionalne clanove, eksponent mora biti negativan. Ovo ce automatski znaciti da cele brojeve i racionalne trazimo na drukciji nacin, dok sto se tice iracionalnih se slazem da je broj racionalnih oduzet od ukupnog broja nacin za njihovo resavanje... Ovo je sada samo moj rezon i logika, ali vidim da se ne slaze u potpunosti sa vasim misljenjem i konstatacijama, pa me zanima gde gresim posto sam rekao sve ono sto mislim da je tacno.

I samo jos jedna stvar, Mile otkud sada [inlmath]2012[/inlmath] kada nam je eksponent [inlmath]2011[/inlmath]?

Griezzmiha je napisao:Moj rezon je da bi dobili racionalne clanove, eksponent mora biti negativan.

Teoretski, ovo jeste tačno. Ali, razmisli, da li bilo koji od eksponenata može da bude negativan? Druga priča bi bila ako bi binom bio (recimo) [inlmath]\left(\sqrt{\frac{3}{2}}+\sqrt[3]4\right)^{2011}[/inlmath]. Ali, koliko znam, kao potkorene veličine u razvoju binoma na prijemnom ispitu dolaze isključivo celi brojevi. Ukoliko neko ima kontraprimer, neka ga navede.

Griezzmiha je napisao:I samo jos jedna stvar, Mile otkud sada [inlmath]2012[/inlmath] kada nam je eksponent [inlmath]2011[/inlmath]?

Za prvi član u razvoju binoma [inlmath]k=0[/inlmath].
Za drugi član u razvoju binoma [inlmath]k=1[/inlmath].
Za treći član u razvoju binoma [inlmath]k=2[/inlmath].
...
Za dve hiljade dvanaesti član u razvoju binoma [inlmath]k=2011[/inlmath].

Jasno mi je sada otkud [inlmath]k=2012[/inlmath] mada mi ostaje misterija ovo za trazenje racionalnih clanova, mi ostasmo na tome da je isto i za cele i za racionalne

Iz ovog razgovora vecerasnjeg, zakljuco sam i naucio, mogu reci, da za cele brojeve iskljucivo trazim cele brojeve tj. samo one vrednosti za parametar [inlmath]k[/inlmath] koji ce dati u eksponentu deljivu vrednost (ukoliko se pojavi razlomak, odnosno potkorena velicina u primarnom binomnom izrazu)... Shvatio sam da za iracionalne dobijamo, tako sto od ukupnog oduzmemo broj racionalnih... Jos uvek pak ostaje misterija, kako dobijamo racionalne... Znaci vi tvrdite da se oni dobijaju isto kao i celi?

Samo zelim da jos jednom potvrdite vec predjasnje receno, za svaki slucaj.

Griezzmiha je napisao:Jasno mi je sada otkud [inlmath]k=2012[/inlmath]...

Da otklonimo svaku nedoumicu, najveća moguća vrednost za [inlmath]k[/inlmath] je [inlmath]2011[/inlmath], a najmanja [inlmath]0[/inlmath]. Zbog toga [inlmath]k[/inlmath] može da ima [inlmath]2012[/inlmath] različitih vrednosti, a razvoj binoma će imati toliko članova.

Da potvrdim još jednom (barem što se tiče gradiva za prijemni ispit)... Ako su potkorene veličine u binomu celobrojne, članovi u razvoju će biti ili iracionalni ili celobrojni. Neće se pojaviti član koji je racionalan, a koji nije moguće svesti na ceo broj.

Hvala Mile! Funkcionise bas kao sto si i rekao, mada i dalje ne razumem (ne mogu da u potpunosti zakljucim zasto je isto za jedno i drugo - cele i racionalne), prihvatio sam kao cinjenicu i daje zeljene rezultate... Mozda bi neki primer pomogao, jer mi nema smisla da imam npr. resenja tipa:

[inlmath]\frac{1}{3}[/inlmath] i da to mogu da transformisem u ceo broj, da li si mislio mozda kao [inlmath]3^{-1}[/inlmath] ili tako nesto? Sve u svemu funkcionise, ovo sad je samo moja radoznalost. Nelogicno mi je iskreno da [inlmath]3^{-1}[/inlmath] okarakterisem kao ceo broj, pa pretpostavljam da si mislio na nesto drugo, verovatno.

@Griezzmiha, ja mislim da je ono što tebe buni to da je skup celih brojeva podskup skupa racionalnih brojeva.
To znači, svi celi brojevi jesu istovremeno i racionalni. Ali, obrnuto ne važi – nisu svi racionalni brojevi celi brojevi.
Skup racionalnih brojeva je skup svih brojeva oblika [inlmath]\frac{m}{n}[/inlmath], gde [inlmath]m,n\in\mathbb{Z}[/inlmath] i [inlmath]n\ne0[/inlmath].
Npr. [inlmath]5[/inlmath] jeste ceo broj, ali je i racionalan broj, jer se može napisati u obliku [inlmath]\frac{5}{1}[/inlmath]. Isto se može reći i za bilo koji ceo broj.
E sad, ako je u zadatku dat stepen binoma oblika [inlmath]\left(\sqrt[p]a\pm\sqrt[q]b\right)^n[/inlmath], gde su [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath] celi brojevi (što je uvek dosad bio slučaj u zadacima s prijemnog), tada sabirci u tom razvoju mogu biti ili celi (a samim tim i racionalni), ili iracionalni. Ne mogu postojati sabirci koji su racionalni a nisu celi. To bi se moglo desiti ako bismo u razvoju imali negativne eksponente, ali znamo da eksponenti u razvoju mogu biti samo pozitivni (ili nula).
Meni lično i jeste malo nelogično to što na prijemnim ispitima formulišu pitanje tako da se traži broj racionalnih članova, umesto da lepo napišu da se traži broj celih članova (to svoje zapažanje sam i izneo pre pet godina, u ovom postu). Jedino neko smisleno objašnjenje je da se na taj način kod kandidata zahteva poznavanje veze racionalnih i celih brojeva... valjda...

---

Što se tiče pitanja zašto je broj sabiraka u razvoju veći za jedan od stepena na koji dižemo binom – miletrans je objasnio, a dopunio bih i s dva primera.
Kada binom stepenujemo dvojkom, tada je
[dispmath](a+b)^2={2\choose0}a^2b^0+{2\choose1}a^1b^1+{2\choose2}a^0b^2=a^2+2ab+b^2[/dispmath] tj. imamo tri, a ne dva sabirka, zar ne?
Slično, kada stepenujemo trojkom,
[dispmath](a+b)^3={3\choose0}a^3b^0+{3\choose1}a^2b^1+{3\choose2}a^1b^2+{3\choose3}a^0b^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3[/dispmath] tj. imamo četiri, a ne tri sabirka.
Da ona suma u formuli ide od [inlmath]1[/inlmath] do [inlmath]n[/inlmath] (gde je [inlmath]n[/inlmath] broj na koji stepenujemo binom), tada bismo imali [inlmath]n[/inlmath] sabiraka u razvoju. Ali, pošto suma ne ide od [inlmath]1[/inlmath] do [inlmath]n[/inlmath] već ide od [inlmath]0[/inlmath] do [inlmath]n[/inlmath], e tada nam ona nula stvara jedan sabirak više, te imamo [inlmath]n+1[/inlmath] sabiraka.