MATEMANIJA

Pozdrav, već neko vrijeme imam problema sa zadacima iz oblasti "Binomni koeficijenti i sume". Konkretno, znam da postoje osobine binomnih koeficijenata, ali mi u zadacima nije jasno, kako se navedene osobine primjenjuju. Navešću nekoliko primjera:
Primjer [inlmath]1[/inlmath]:
Izračunati:
[dispmath]\sum_{k=0}^{673}{2019\choose3k}[/dispmath] I sada sam postavio smjenu [inlmath]673=n[/inlmath], a [inlmath]2019=3\cdot n[/inlmath], pa dobijam [inlmath]\sum\limits_{k=0}^n{3n\choose3k}[/inlmath]. Sada nastaje problem, jer ne razumijem šta bih dalje trebao da uradim. Rješenje je [inlmath]\frac{2(-1)^n+8^n}{3}[/inlmath], ali mi nije jasno kako se od [inlmath]\sum\limits_{k=0}^n{3n\choose3k}[/inlmath], navedeno rješenje dobija.

---

Primjer [inlmath]2[/inlmath]:
Izračunati:
[dispmath]\sum_{i=0}^ni^2{n\choose i}[/dispmath] Ja sam probao ovako:
[dispmath]\sum_{i=0}^ni^2{n\choose i}\\
\sum_{i=0}^ni^2\frac{n!}{i!(n-i)!}\\
\sum_{i=0}^ni\frac{n!}{(i-1)!(n-i)!}\\
n!\sum_{i=0}^ni\frac{1}{(i-1)!(n-i)!}\\
\frac{n!}{(n-1)!}\sum_{i=0}^ni\frac{(n-1)!}{(i-1)!(n-i)!}\\
n\sum_{i=0}^ni{n-1\choose i-1}[/dispmath] Sada opet imam isti problem, rješenje bi trebalo da bude [inlmath]2^{n-2}n(n+1)[/inlmath], ali ne vidim kako se do njega dolazi.

Unaprijed Hvala!

Evo zasad za drugi primer. Dobro si započeo, svojim postupkom si zapravo pokazao svojstvo binomnog koeficijenta
[dispmath]{n\choose i}=\frac{n}{i}{n-1\choose i-1},\quad i\ge1[/dispmath] (mora da bude [inlmath]i\ge1[/inlmath], jer bismo za [inlmath]i=0[/inlmath] imali nulu u imeniocu).

Dakle, ako bismo tu već gotovu formulu primenili na početni izraz, dobili bismo
[dispmath]\sum_{i=1}^ni^2{n\choose i}=n\sum_{i=1}^ni{n-1\choose i-1}[/dispmath] (Ovde sam izmenio da [inlmath]i[/inlmath] ne kreće od nule već od jedinice kako bih mogao da primenim formulu, ali time nisam promenio vrednost sume jer je član sume za [inlmath]i=0[/inlmath] ionako jednak nuli.)

Sada na dobijeni izraz [inlmath]n\sum\limits_{i=1}^ni{n-1\choose i-1}[/inlmath] ponovo primeni gornju formulu, prethodno zapisavši [inlmath]i[/inlmath] kao [inlmath](i-1)+1[/inlmath] i rastavivši sumu na zbir dve sume (suma koja sadrži [inlmath](i-1)[/inlmath] moći će sad da ide od dvojke, jer će član te sume za [inlmath]i=1[/inlmath] biti jednak nuli)...

A što se tiče prvog,

Srdjan01 je napisao:Izračunati:
[dispmath]\sum_{k=0}^{673}{2019\choose3k}[/dispmath]

Tu se zapravo traži suma binomnih koeficijenata na svakom trećem mestu:
[dispmath]{2019\choose0}+{2019\choose3}+{2019\choose6}+\cdots+{2019\choose2016}+{2019\choose2019}[/dispmath] Setimo se da se suma binomnih koeficijenata na svakom drugom mestu računa tako što se razvije stepen binoma [inlmath]\bigl(1+(-1)\bigr)^n[/inlmath].
Ovde se radi po sličnom principu, s tim što će biti potrebno zaći u domen kompleksnih brojeva, i razviti stepen binoma [inlmath]\left(1+e^{i\frac{2\pi}{3}}\right)^{2019}[/inlmath]...