MATEMANIJA

Naci broj permutacija skupa [inlmath]K=\left\{A,B^2,C^3,D,E^4\right\}[/inlmath] u kojima se slova [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]D[/inlmath] ne nalaze jedno pored drugog.

Moj nacin je da prvo nadjem broj svih permutacija ovog multiskupa, i da od njega oduzmem broj permutacija kada se [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]D[/inlmath] nalaze jedno do drugog. Preciznije fiksiram [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]D[/inlmath] i tretiram ih kao jedno pa je trazeni broj: [inlmath]\frac{11!}{2!3!4!}-\frac{10!}{2!3!4!}[/inlmath]. Da li je ovo ispravno?

Slova [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]D[/inlmath] se nalaze jedno pored drugog i u slučaju kad imamo raspored [inlmath]AD[/inlmath] kao i raspored [inlmath]DA[/inlmath] tako da je ukupan broj permutacija koje zadovoljavaju dati uslov zadatka jednak:
[dispmath]\frac{11!}{2!\cdot3!\cdot4!}-2\cdot\frac{10!}{2!\cdot3!\cdot4!}=113400[/dispmath]

Upravo kao što reče primus – broj [inlmath]\frac{10!}{2!3!4!}[/inlmath] jeste broj permutacija kada [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]D[/inlmath] posmatramo kao jedan element, ali mora se voditi računa o tome da svaka od tih permutacija sadrži i permutacije elemenata [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]D[/inlmath] unutar tog podskupa [inlmath]\{A,D\}[/inlmath] – a broj tih permutacija je, naravno, [inlmath]P_2=2!=2[/inlmath].
Zato se, pri oduzimanju, [inlmath]\frac{10!}{2!3!4!}[/inlmath] mora još pomnožiti dvojkom.