MATEMANIJA

Naci broj nacina da [inlmath]16[/inlmath] matematicara i [inlmath]11[/inlmath] fizicara rasporedimo u vrstu, tako da dva fizicara ne stoje jedan do drugog.

Moje resenje je [inlmath]{16\choose5}\cdot11!\cdot16![/inlmath]. Prvo sam poredjao date osobe u obliku [inlmath]FMFMFMFMFMFMFMFMFMFMFM[/inlmath] i onda na preostalih [inlmath]12[/inlmath] medjupozicija izmedju svakog [inlmath]FM[/inlmath] poredjao preostalih [inlmath]5[/inlmath] matematicara i to sam racunao kao kombinacije sa ponavljanjem [inlmath]12[/inlmath] elemenata pete klase. Da li je ovo ispravno?

Ideja ti je dobra, samo, vodi računa da se fizičar može naći i na poslednjem mestu. Nakon što to ispraviš, dobićeš tačan rezultat.

---

Drugi način bi bio razmatrati dva moguća slučaja:

• [inlmath]I[/inlmath] slučaj – na prvom mestu se nalazi fizičar.
  Pošto je na prvom mestu fizičar, na preostala mesta raspoređujemo elemente [inlmath]MF[/inlmath] i [inlmath]M[/inlmath], pri čemu elemenata [inlmath]MF[/inlmath] ima [inlmath]10[/inlmath] (jer smo jedno [inlmath]F[/inlmath] već stavili na početak niza), a elemenata [inlmath]M[/inlmath] ima [inlmath]6[/inlmath] (jer je [inlmath]10[/inlmath] matematičara već otišlo na elemente [inlmath]MF[/inlmath]). To raspoređivanje obavljamo na [inlmath]10+6=16[/inlmath] mesta, pa je broj načina na koji to možemo učiniti jednak [inlmath]16\choose10[/inlmath], tj. [inlmath]16\choose6[/inlmath].
• [inlmath]II[/inlmath] slučaj – na prvom mestu se nalazi matematičar.
  Elemenata [inlmath]MF[/inlmath] sada ima [inlmath]11[/inlmath], a elemenata [inlmath]M[/inlmath] ima [inlmath]5[/inlmath] (jer je [inlmath]11[/inlmath] matematičara već otišlo na elemente [inlmath]MF[/inlmath]). Ove elemente sada raspoređujemo na sva mesta, uključujući i prvo mesto (a time što su u pitanju elementi [inlmath]MF[/inlmath] i [inlmath]M[/inlmath] obezbeđeno je da se na prvom mestu neće naći fizičar, što je uslov ovog slučaja). To raspoređivanje obavljamo na [inlmath]11+5=16[/inlmath] mesta, pa je broj načina na koji to možemo učiniti jednak [inlmath]16\choose11[/inlmath], tj. [inlmath]16\choose5[/inlmath].

Na kraju saberemo brojeve slučajeva, i zbir pomnožimo sa [inlmath]16!\cdot11![/inlmath] (budući da se i matematičari i fizičari međusobno razlikuju).