MATEMANIJA

Pozdrav i srećna Nova godina svim forumašima!

Nikako ne uspevam da izadjem na kraj sa sledećim zadatkom:
U razvoju [inlmath]1+(1+x)+(1+x)^2+\cdots+(1+x)^n[/inlmath] po stepenima osnove [inlmath]x[/inlmath] naći koeficijent uz [inlmath]x^k[/inlmath] ([inlmath]0\le k\le n[/inlmath]).
Rešenje: [inlmath]n+1\choose k+1[/inlmath]

Jedino što mi je palo na pamet je da dati razvoj predstavim kao sumu geometrijskog niza. Nakon primene formule za zbir geometrijske progresije dobijam da je dati razvoj jednak
[dispmath]\frac{(1+x)^{n+1}-1}{x}[/dispmath] Nemam ideju šta dalje treba uraditi tako da je svaka pomoć dobrodošla. Naravno, ne isključujem mogućnost da ovaj način uopšte ne vodi do konačnog rešenja zadatka. Hvala unapred!

Pozdrav.
Opšti član razvoja binoma [inlmath](1+x)^n[/inlmath] je [inlmath]{n\choose k}x^k[/inlmath], a opšti član razvoja binoma [inlmath](1+x)^{n+1}[/inlmath] je [inlmath]{n+1\choose k}x^k[/inlmath]. Kako u imeniocu razlomka kojeg si dobio figurira [inlmath]x[/inlmath] nas interesuje koliko iznosi koeficijent uz član [inlmath]x^{k+1}[/inlmath] u razvoju binoma [inlmath](1+x)^{n+1}[/inlmath]. Nije teško zaključiti da je on jednak [inlmath]n+1\choose k+1[/inlmath].

Zanimljivo bi ovde bilo napomenuti da, ako po binomnoj formuli razvijemo svaki sabirak početne sume [inlmath]1+(1+x)+(1+x)^2+\cdots+(1+x)^n[/inlmath], tada sabirci [inlmath]1,\;1+x,\;(1+x)^2,\ldots,(1+x)^{k-1}[/inlmath] ne sadrže član sa [inlmath]x^k[/inlmath], tako da bismo sabiranjem dobili da je koeficijent uz [inlmath]x^k[/inlmath] jednak [inlmath]{k\choose k}+{k+1\choose k}+\cdots+{n\choose k}[/inlmath]. Ako to sad izjednačimo s rešenjem ovog zadatka, [inlmath]n+1\choose k+1[/inlmath], dobijamo identitet
[dispmath]\sum_{i=0}^n{i\choose k}=\sum_{i=k}^n{i\choose k}={n+1\choose k+1}[/dispmath] koji ima i svoj naziv – Hockey-stickov identitet.

Do njega se može doći primenom Paskalove formule, [inlmath]{n\choose k}={n-1\choose k-1}+{n-1\choose k}[/inlmath], tj. [inlmath]{n-1\choose k-1}={n\choose k}-{n-1\choose k}[/inlmath]:
[dispmath]\begin{align}
\sum_{i=k}^n{i\choose k}&=\sum_{i=k}^n{i+1\choose k+1}+\sum_{i=k}^n{i\choose k+1}\\
&=\sum_{i=k+1}^{n+1}{i\choose k+1}+\sum_{i=k}^n{i\choose k+1}\\
&=\cancel{\sum_{i=k}^n{i\choose k+1}}+\sum_{i=n+1}^{n+1}{i\choose k+1}-\sum_{i=k}^k{i\choose k+1}+\cancel{\sum_{i=k}^n{i\choose k+1}}\\
&={n+1\choose k+1}-\underbrace{k\choose k+1}_0\\
&={n+1\choose k+1}
\end{align}[/dispmath] što bi, ujedno, mogao biti i još jedan (mada dosta komplikovaniji) način rešavanja ovog zadatka. Svakako preporučujem onaj koji je prethodno pokazan i koji je daleko jednostavniji, preko sume geometrijskog niza.