MATEMANIJA

Pozdrav,
Nije mi najjasniji sledeći zadatak;
Ako je u razvoju binoma [inlmath]\left(\sqrt3+\frac{1}{\sqrt3}\right)^n[/inlmath] odnos [inlmath]3.[/inlmath] i [inlmath]4.[/inlmath] člana jednak [inlmath]9:10[/inlmath], tada je zbir svih binomnih koeficijenata u tom razvoju jednak;
Tačan odgovor je [inlmath]4096[/inlmath].

Krenuo sam da ga rešavam ovako;
[inlmath]\left(\sqrt3+\frac{1}{\sqrt3}\right)^n[/inlmath] sam zapisao kao [inlmath]3^\frac{1}{2}+3^\frac{-1}{2}[/inlmath]
Odnos [inlmath]3.[/inlmath] i [inlmath]4.[/inlmath] člana je [inlmath]9:10[/inlmath] i prema tome ispada ovako;
[dispmath]{n\choose2}3^\frac{n-2}{2}\cdot3^{-1}:{n\choose3}3^\frac{n-3}{2}\cdot3^\frac{-3}{2}=9:10[/dispmath] Dalje nisam znao šta da radim...
Pogledao sam i ovu temu ali problem je što u ovom slučaju nisam mogao da skratim binomne koeficijente, a i nemam ideju šta bih mogao da radim sa ovom desetkom.

Pozdrav!
Sad izmnoži spoljašnji sa spoljašnjim a unutrašnji sa unutrašnjim (jedna od osobina proporcija), kako bi se oslobodio razmere. Potom [inlmath]3^\frac{n-2}{2}[/inlmath] zapišeš kao [inlmath]3^\frac{n}{2}\cdot3^{-1}[/inlmath] (slično i za [inlmath]3^\frac{n-3}{2}[/inlmath] na drugoj strani). Kad to uradiš, na obe strane jednakosti ćeš imati [inlmath]3^\frac{n}{2}[/inlmath], pa ih komotno možeš skratiti
Kad sve to uradiš razvij binomne koeficijente na obe strane (pretpostavljam da znaš kako se to radi, a ako ne znaš pogledaj prvu temu rubrike Kombinatorika), a onda [inlmath](n-2)![/inlmath] zapišeš [inlmath](n-2)(n-3)![/inlmath]. Ako sve uradiš kako treba, skoro sve će se pokratiti, ostaće samo jedna linearna jednačina po [inlmath]n[/inlmath] koja se rešava vrlo lako. Na kraju se dobije da je [inlmath]n=12[/inlmath]. I na samom kraju, treba da iskoristiš osobinu da je zbir svih binomnih koeficijenta jednak [inlmath]2^n[/inlmath]).

P. S. Pišem preko telefona, pa mi objašnjene nije najbolje, ali nadam se da će ti biti dovoljno da završiš zadatak.

Hvala puno... Na svakakve načine sam pokušavao da ga rešim al nema sile, uvek sam dobijao neko negativno [inlmath]n[/inlmath], a nisam se setio ove odlične dosetke koju si mi spomenuo, da prevedem i jedan i drugi na isti eksponent i tako ih se rešim posle;
[inlmath]n\choose2[/inlmath] je [inlmath]\frac{n\left(n-1\right)}{2}[/inlmath]
[inlmath]n\choose3[/inlmath] je [inlmath]\frac{n\left(n-1\right)\left(n-2\right)}{6}[/inlmath]
Sada primenimo osobine proporcije iz čega dobijamo sledeće;
[dispmath]10\frac{n\left(n-1\right)}{2}\cdot3^\frac{n}{2}\cdot3^{-2}=9\cdot\frac{n\left(n-1\right)\left(n-2\right)}{6}\cdot3^\frac{n}{2}\cdot3^{-\frac{3}{2}}\cdot3^{-\frac{3}{2}}[/dispmath] Sada možemo da pokratimo [inlmath]3^\frac{n}{2}[/inlmath] sa leve i desne strane i nakon toga dobijamo dvojni razlomak koji izgleda ovako;
[dispmath]\frac{\frac{5n\left(n-1\right)}{9}}{\frac{3n\left(n-1\right)\left(n-2\right)}{54}},[/dispmath] odakle sledi;
[dispmath]90=9n-18[/dispmath] odakle je samo [inlmath]n=12[/inlmath].
Hvala puno još jednom!

@Acim
Sve OK, jedino ne razumem ovaj deo s dvojnim razlomkom.
Dvojni razlomak je izraz a ne jednačina, pa ne vidim kako iz njega odrediti vrednost nepoznate.
Možda si mislio da ga izjednačiš s jedinicom čime bi dobio jednačinu, ali opet ne vidim potrebu uvođenja dvojnog razlomka.
Zar nije jednostavnije, nakon skraćivanja [inlmath]3^\frac{n}{2}[/inlmath], kao i [inlmath]n(n-1)[/inlmath], nastaviti s dotadašnjom jednačinom,
[dispmath]\frac{10}{2}\cdot3^{-2}=9\cdot\frac{n-2}{6}\cdot3^{-\frac{3}{2}}\cdot3^{-\frac{3}{2}}\\
5\cdot\cancel{3^{-2}}=\cancel3\cdot\frac{n-2}{2}\cdot\cancel{3^{-3}}\\
\vdots[/dispmath]

Da, mislio sam da ga izjednačim. Slažem se, bespotreban je deo sa dvojnim razlomkom definitivno.