MATEMANIJA

Pozdrav. Ne uspevam da uradim sledeći zadatak:
Na svakoj stranici pravilnog petougla zadato je po pet proizvoljnih tačaka od kojih nijedna nije teme pravilnog petougla. Koliko ima četvorouglova čija su temena date tačke?
Rešenje: [inlmath]11625[/inlmath]

Moj postupak:
[dispmath]X={25\choose4}-5{5\choose4}=12625[/dispmath] Ukupno ima [inlmath]25[/inlmath] tačaka, a svake četiri tačke odredjuju tačno jedan četvorougao, pa je ukupan broj četvorouglova [inlmath]25\choose4[/inlmath]. Kako postoji pet parova od po četiri kolinearne tačke (leže na stranicama petougla), od ukupnog broja četvorouglova oduzeo sam [inlmath]5{5\choose4}[/inlmath]. Zanimljivo je da se moje rešenje razlikuje od rešenja iz zbirke za tačno [inlmath]1000[/inlmath]. Nemam predstavu gde bih mogao da napravim višak četvorouglova. Hvala!

Pod pretpostavkom da se sve tačke međusobno razlikuju imamo:
[dispmath]X={25\choose4}-20\cdot5\cdot{5\choose3}-5\cdot{5\choose4}[/dispmath]

primus, ne uspevam da "provalim" zbog čega si oduzeo [inlmath]20\cdot5\cdot{5\choose3}[/inlmath]?
[inlmath]5\cdot{5\choose3}[/inlmath] predstavlja broj trouglova određenih tačkama na stranicama petougla. Ne znam zbog čega si to množio sa [inlmath]20[/inlmath] i oduzeo od ukupnog broja četvorouglova.

Definitivno je bolje dati uputstvo bez krajnjeg rezultata, nego dati krajnji rezultat bez uputstva.
Pošto među četiri temena četvorougla nikoja tri ne smeju biti kolinearna (jer to onda ne bi bio četvorougao), to znači da se nikoje tri izabrane tačke ne smeju nalaziti na istoj stranici petougla. Dakle, od ukupnog broja mogućnosti izbora četiri od ukupno [inlmath]25[/inlmath] tačaka na stranicama petougla, treba oduzeti broj onih mogućnosti u kojima se pojavaljuju tri ili četiri kolinearne tačke (tj. tri ili četiri tačke koje pripadaju istoj stranici petougla).

---

Možemo raditi i na drugi način, tako što znamo da na istoj stranici petougla smemo odabrati najviše dve tačke koje će pripadati četvorouglu.
To možemo učiniti na tri mogućnosti.
Prva mogućnost je, da odaberemo četiri (od ukupno pet) stranice petougla i da sa svake od te četiri stranice odaberemo po jednu tačku;
Druga mogućnost je, da na jednoj stranici petougla odaberemo dve tačke, a da po jednu tačku odaberemo sa neke dve od preostale četiri stranice;
Treća mogućnost je da izaberemo dve (od ukupno pet) stranice petougla i da sa svake od njih odaberemo dve tačke.

Frank je napisao:[inlmath]5\cdot{5\choose3}[/inlmath] predstavlja broj trouglova određenih tačkama na stranicama petougla. Ne znam zbog čega si to množio sa [inlmath]20[/inlmath] i oduzeo od ukupnog broja četvorouglova.

Od ukupnog broja četvorki moramo oduzeti i takve koje sačinjavaju tri kolinearne tačke na jednoj stranici jer one u kombinaciji sa četvrtom tačkom koja ne leži na toj stranici ne daju četvorougao. Kako nam je na četiri ostale stranice preostalo [inlmath]20[/inlmath] tačaka dobijamo da je broj takvih četvorki za jednu stranicu jednak [inlmath]20\cdot{5\choose3}[/inlmath]. Pošto se radi o petouglu ovaj broj četvorki moramo još pomnožiti sa [inlmath]5[/inlmath].