MATEMANIJA

Pozdrav! Tekst zadatka je sledeći:

Koliko ima trojki [inlmath](a,b,c)[/inlmath] prirodnih brojeva za koje važi [inlmath]abc=2000[/inlmath]?
Rešenje: [inlmath]150[/inlmath]

Prvo (a i jedino) sam [inlmath]2000[/inlmath] rastavio na proste činioce, tj. [inlmath]2000=2^4\cdot5^3[/inlmath]. Kako duže vreme nisam uspeo da nađem način da rešim zadatak, pogledao sam u rešenja u kojima piše sledeće - [inlmath]2000=2^4\cdot5^3[/inlmath], pa se problem svodi na to na koliko načina možemo [inlmath]6[/inlmath], tj. [inlmath]5[/inlmath] kuglica rasporediti u tri kutije [inlmath]{6\choose2}\cdot{5\choose2}=150[/inlmath]. Uopšte mi nije jasno zašto su raspoređivali [inlmath]6[/inlmath], tj. [inlmath]5[/inlmath] kuglica kad [inlmath]2000[/inlmath] ima [inlmath]7[/inlmath] faktora (četiri dvojke i tri petice). Meni je logičnije da za konačno rešenje zadatka uzmemo broj mogućih rasporeda [inlmath]7[/inlmath] različitih kuglica u tri različite kutije tako da nijedna kutija nije prazna. Hvala!

Hajde da krenem od kraja pa da prvo odgovorim na poslednje pitanje. Zašto ne [inlmath]7[/inlmath] kuglica u [inlmath]3[/inlmath] kutije – pre svega, raspoređivanje dvojaka i raspoređivanje petica treba vršiti potpuno nezavisno jedno od drugog. Znači, svakom rasporedu dvojaka odgovaraju svi mogući rasporedi petica, i obratno (to je i razlog zbog kojeg se u tačnom rešenju binomni koeficijenti množe). Primera radi, ako smo sve dvojke pridružili broju [inlmath]c[/inlmath] (znači, raspored dvojaka bi bio [inlmath]004[/inlmath]), tom jednom rasporedu dvojaka odgovaraju svi mogući rasporedi petica: [inlmath]003[/inlmath], [inlmath]012[/inlmath], [inlmath]021[/inlmath], [inlmath]030[/inlmath], [inlmath]102[/inlmath], itd. do [inlmath]300[/inlmath]. Za sledeći mogući raspored dvojaka, [inlmath]013[/inlmath], petice možemo rasporediti na potpuno isti broj načina kao i u prethodnom slučaju, od [inlmath]003[/inlmath] do [inlmath]300[/inlmath]. E zbog toga se brojevi mogućnosti rasporeda dvojaka i mogućnosti rasporeda petica – množe.

Što se tiče rešenja koje si naveo,

Frank je napisao:[inlmath]2000=2^4\cdot5^3[/inlmath], pa se problem svodi na to na koliko načina možemo [inlmath]6[/inlmath], tj. [inlmath]5[/inlmath] kuglica rasporediti u tri kutije [inlmath]{6\choose2}\cdot{5\choose2}=150[/inlmath].

ako zaista piše tako, onda je to greška. Treba da stoji

[inlmath]2000=2^4\cdot5^3[/inlmath], pa se problem svodi na to na koliko načina možemo [inlmath]\color{red}4[/inlmath], tj. [inlmath]\color{red}3[/inlmath] kuglice rasporediti u tri kutije [inlmath]{6\choose2}\cdot{5\choose2}=150[/inlmath].

O broju načina da se u [inlmath]n[/inlmath] kutija rasporedi [inlmath]k[/inlmath] kuglica (a koji iznosi [inlmath]{n+k-1\choose k}={n+k-1\choose n-1}[/inlmath]) možeš pročitati ovde (poglavlje „Kombinacije s ponavljanjem“). Uvrštavanjem odgovarajućih vrednosti za [inlmath]n[/inlmath] i za [inlmath]k[/inlmath] iz ovog zadatka, tačno ćeš dobiti [inlmath]6\choose2[/inlmath], odnosno [inlmath]5\choose2[/inlmath].

---

A mogu se čak i odmah, bez ikakvih kutija i kuglica, primeniti kombinacije s ponavljanjem, ako se uoči analogija. Prvo posmatrajmo pridruživanje dvojaka (ukupno njih [inlmath]4[/inlmath]) brojevima [inlmath]a[/inlmath], [inlmath]b[/inlmath] i [inlmath]c[/inlmath]. To je ekvivalentno situaciji u kojoj iz skupa [inlmath]\{a,b,c\}[/inlmath] vršimo odabir [inlmath]4[/inlmath] puta s vraćanjem, pri čemu redosled izvlačenja nije bitan (dakle, kombinacije s ponavljanjem), i pri svakom izvlačenju nekog od ta tri broja pridružimo mu po jednu dvojku. Onoliko puta koliko neki od tih brojeva izvučemo, toliko će mu dvojaka biti pridruženo. Prema tome, imamo kombinacije s ponavljanjem od [inlmath]3[/inlmath] elementa ([inlmath]a[/inlmath], [inlmath]b[/inlmath] i [inlmath]c[/inlmath]) [inlmath]4.[/inlmath] klase (jer imamo [inlmath]4[/inlmath] dvojke), a to je [inlmath]{3+4-1\choose4}={6\choose4}={6\choose2}[/inlmath].
Analogno i za izvlačenje (tj. pridruživanje) petica.

@Daniel Da li su tvojim rešenjem obuhvaćene i one trojke koje sadrže jedinicu? Npr. [inlmath](1,16,125)[/inlmath].

Jesu, jedinica odgovara slučaju da nekom od brojeva [inlmath]a[/inlmath], [inlmath]b[/inlmath] ili [inlmath]c[/inlmath] nije pridružena ni dvojka ni petica. Ili, po metodi izvlačenja brojeva iz skupa – da neki od brojeva nije uopšte izvučen.
Konkretno, za tvoj primer raspored dvojaka bi bio [inlmath]040[/inlmath], a raspored petica [inlmath]003[/inlmath].