MATEMANIJA

Pozdrav! Postaviću još jedan zadatak koji nisam uspeo da uradim, pa bih molio za pomoć oko rešavanja istog:

Koliko ima [inlmath]n[/inlmath]-tocifrenih brojeva [inlmath]\overline{c_1c_2\cdots c_n}[/inlmath] za koje važi [inlmath]1\le c_1\le c_2\le\cdots\le c_n\le 9[/inlmath]?
Rešenje: [inlmath]n+8\choose8[/inlmath]

Zadatak sam radio tako što sam od ukupnog broja [inlmath]n[/inlmath]-tocifrenih brojeva oduzeo one brojeve kod kojih su cifre strogo opadajuće. Ukupan broj [inlmath]n[/inlmath]-tocifrenih brojeva sam računao kao varijacije sa ponavljanjem [inlmath]n[/inlmath]-te klase od [inlmath]9[/inlmath] elemenata, tj. [inlmath]\overline V_9^n[/inlmath]. Broj onih [inlmath]n[/inlmath]-tocifrenih brojeva sam računao kao kombinacije bez ponavljanja [inlmath]n[/inlmath]-te klase od [inlmath]9[/inlmath] elemenata, tj. [inlmath]C^n_9={9\choose n}[/inlmath]. Po mom, konačno rešenje bi bilo
[dispmath]X=\overline V_9^n-C^n_9=9^n-\frac{9!}{n!(9-n)!}[/dispmath] Međutim, ovo moje rešenje se ne poklapa sa gorenavedenim rešenjem. Doduše, ako umesto [inlmath]n[/inlmath] uvrstim [inlmath]2[/inlmath], i u jednom i u drugom rešenju dobijem isti rezultat, ali zato kad uvrstim [inlmath]3,4,\ldots[/inlmath] dobijam različite vrednosti. Očigledno u mom postupku ne valja nešto što ja ne vidim. Hvala!

Okupirah Matemaniju zadacima iz kombinatorike...

Frank je napisao:Zadatak sam radio tako što sam od ukupnog broja [inlmath]n[/inlmath]-tocifrenih brojeva oduzeo one brojeve kod kojih su cifre strogo opadajuće.

Upravo u tome ti je i greška. To što kod nekog broja cifre nisu strogo opadajuće, ne znači da će biti monotono neopadajuće. Evo ti na primer broj [inlmath]2021[/inlmath]. Kod njega ne važi [inlmath]2>0>2>1[/inlmath], ali isto tako ne važi ni [inlmath]2\le0\le2\le1[/inlmath].

Kao što si ispravno uočio da broj [inlmath]n[/inlmath]-tocifrenih brojeva kod kojih su cifre strogo opadajuće (što ti u ovom zadatku doduše nije potrebno) možeš računati kao broj kombinacija bez ponavljanja, tako isto broj [inlmath]n[/inlmath]-tocifrenih brojeva kod kojih su cifre neopadajuće (što ti ovde jeste potrebno) možeš računati kao broj kombinacija s ponavljanjem.