MATEMANIJA

Pozdrav! Naiđoh na još jedan zadatak koji ne znam da uradim, tj. ne znam kako da krenem, pa bi svaka smernica u vezi s rešavanjem zadatka dobrodošla. Tekst zadatka:
Odrediti sumu [inlmath]\sum\limits_{k=1}^n{2n-k\choose n}[/inlmath].
Rešenje: [inlmath]2n\choose n-1[/inlmath]

Za početak sam razvio datu sumu:
[dispmath]\sum_{k=1}^n{2n-k\choose n}={2n-1\choose n}+{2n-2\choose n}+{2n-3\choose n}+\cdots+{2n-n+1\choose n}+{2n-n\choose n}[/dispmath] Nekoliko zadataka ovog tipa (određivanje sume binomnih koeficijenata) sam rešavao tako što sam izmnožio leve i desne strane jednačina [inlmath](1+x)^n=\sum\limits_{k=0}^n{n\choose k}x^k[/inlmath] i [inlmath](x+1)^n=\sum\limits_{k=0}^n{n\choose k}x^{n-k}[/inlmath], a potom izjednačavao koeficijente uz odgovarajuće članove (u zavisnosti od toga šta se traži u zadatku). Očigledno je da u ovom zadatku ovaj metod neće pomoći...
Takođe, zadatak sam pokušao da rešim transformacijom sabiraka:
[dispmath]{2n-1\choose n}=\frac{(2n-1)!}{n!(n-1)!}\cdot\frac{2n}{2n}=\frac{(2n)!}{n!\cdot n!\cdot2}=\frac{1}{2}{2n\choose n}[/dispmath] Međutim, problem je u tome što ostale sabirke (drugi, treći...) ne mogu da transformišem kao prvi (tj. kad na ostale sabirke primenim isti princip kao što sam primenio i na prvi sabirak dobijem glomazne izraze, tj. nisu fini kao [inlmath]\frac{1}{2}{2n\choose n}[/inlmath]), pa samim tim ne mogu izvući ispred zagrade ništa "korisno"...
Hvala!

Pozdrav. Pozovi u pomoć Paskalovu formulu (imaš je ovde, odeljak „Osobine binomnog koeficijenta“).

Neće me ovaj zadatak pa to ti je... I pored ukazane pomoći nisam uspeo da ga rešim.
Iz Paskalove formule [inlmath]{n\choose k}={n-1\choose k-1}+{n-1\choose k}[/inlmath] sledi [inlmath]{n-1\choose k}={n\choose k}-{n-1\choose k-1}[/inlmath]. Opšti sabirak sume [inlmath]\sum\limits_{k=1}^n{2n-k\choose n}[/inlmath] je [inlmath]{2n-k\choose n}[/inlmath]. Kad na njega (opšti sabirak) primenim Paskalovu formulu dobijam
[dispmath]{2n-k\choose n}={2n-k+1-1\choose n}={2n-k+1\choose n}-{2n-k\choose n-1}[/dispmath] Kada umesto [inlmath]k[/inlmath] stavim brojne vrednosti dobijam da je tražena suma jednaka
[dispmath]{2n\choose n}-{2n-1\choose n-1}+{2n-1\choose n}-{2n-2\choose n-1}+{2n-2\choose n}-{2n-3\choose n-1}+\cdots+{n+1\choose n}-{n\choose n-1}[/dispmath] I nakon ove transofrmacije ne uočavam nikakvu pravilnost... Moguće da se ovako uopšte i ne radi, ali ja stvarno ne vidim nijedan drugi način...

Paskalovu formulu napiši u obliku [inlmath]{n-1\choose k-1}={n\choose k}-{n-1\choose k}[/inlmath], kako bi nakon razvoja sume na mestu donjeg broja u binomnim koeficijentima imao sve iste vrednosti.