MATEMANIJA

Na matematickoj olimpijadi ucestvovalo je [inlmath]55[/inlmath] takmicara. U toku presedanja zadataka komisija je oznacavala sa [inlmath]+[/inlmath] kada je zadatak resen, sa [inlmath]-[/inlmath] kada zadatak nije resen i sa [inlmath]0[/inlmath] kada takmicar nije radio zadatak. Kasnije se ispostavilo da ne postoje 2 rada sa istim brojem [inlmath]+[/inlmath] i [inlmath]-[/inlmath]. Koji je najmanji moguci broj zadataka na olimpijadi?
[inlmath]6,9,10,11,12[/inlmath]

I sad ako svako igra protiv svakog to je kombinatorski problem?
I sad od [inlmath]55[/inlmath] takmicara bi trebalo da napravimo [inlmath]55[/inlmath] kombinacija [inlmath]3[/inlmath] elemenata [inlmath](+,-,0)[/inlmath]
Ako moze pomoc oko postavke stvarno sam se izgubila ne znam kako da pocnem izuzetno mi je tezak zadatak. Hvala

Ja ovaj zadatak nisam shvatio tako da svako igra protiv svakog. Tekst ukazuje na to da svako rešava zadatke individualno – i u zavisnosti od toga da li je zadatak rešen ili ne, ili uopšte nije ni rađen, dobija [inlmath]+[/inlmath], [inlmath]-[/inlmath] ili [inlmath]0[/inlmath].
Ne znam samo šta u ovom smislu znači „presedanje“ – pretpostavljam da je to greška, da umesto toga treba da stoji „pregledanje“.

Neka imamo ukupno [inlmath]n[/inlmath] zadataka (minimalno [inlmath]n[/inlmath] je ono što treba da odredimo). Broj pluseva (označimo ga sa [inlmath]n_+[/inlmath]) tada može biti od [inlmath]0[/inlmath] ako nijedan zadatak nije rešen, do [inlmath]n[/inlmath] ako su svi zadaci rešeni (ukupno [inlmath]n+1[/inlmath] mogućnosti za [inlmath]n_+[/inlmath]).
Za neko konkretno [inlmath]n_+[/inlmath], broj minusa (označimo ga sa [inlmath]n_-[/inlmath]) može ići od [inlmath]0[/inlmath] pa do [inlmath]n-n_+[/inlmath] (ukupno [inlmath]n-n_++1[/inlmath] mogućnosti za [inlmath]n_-[/inlmath]).
To znači:

• za [inlmath]n_+=0[/inlmath] imamo [inlmath]n+1[/inlmath] mogućnosti za [inlmath]n_-[/inlmath];
• za [inlmath]n_+=1[/inlmath] imamo [inlmath]n[/inlmath] mogućnosti za [inlmath]n_-[/inlmath];
• za [inlmath]n_+=2[/inlmath] imamo [inlmath]n-1[/inlmath] mogućnosti za [inlmath]n_-[/inlmath];
  [inlmath]\vdots[/inlmath]
• za [inlmath]n_+=n-1[/inlmath] imamo [inlmath]2[/inlmath] mogućnost za [inlmath]n_-[/inlmath];
• za [inlmath]n_+=n[/inlmath] imamo [inlmath]1[/inlmath] mogućnosti za [inlmath]n_-[/inlmath].

Ukupan broj mogućnosti je, prema tome,
[dispmath]\sum_{n_+=0}^n(n-n_++1)=\cdots[/dispmath] Ova suma aritmetičkog niza se lako izračuna, nakon čega je još samo potrebno postaviti uslov da je vrednost te sume [inlmath]\ge55[/inlmath] (jer bi u protivnom, prema Dirihleovom principu, morala postojati bar dva takmičara s istim brojem pluseva i minusa, a što je protivno uslovu zadatka).