MATEMANIJA

Kako rešiti zadatak:

Na koliko načina možemo rasporediti [inlmath]25[/inlmath] knjiga na policu od kojih je [inlmath]5[/inlmath] zbirki pesama tako da:
1) svih [inlmath]5[/inlmath] zbirki pesama budu jedna do druge,
2) nikoje dve zbirke pesama ne budu jedna do druge

Pokušao sam preko permutacija sa ponavljanjem ali ne ide...
Tražio sam sličan zadatak i ni to ne ide.

pod 2)
Prvo rasporedjujemo knjige koje nisu zbirke pesama. Njih ima [inlmath]20[/inlmath], znaci mozemo na [inlmath]20![/inlmath] nacina.
Ostalih [inlmath]5[/inlmath] knjiga (po jednu) mozemo ubaciti izmedju tih [inlmath]20[/inlmath] knjiga, ali i na prvom i na poslednjem mestu. Znaci (crtice su tih [inlmath]20[/inlmath] knjiga):

mozemo odabrati [inlmath]5[/inlmath] od [inlmath]21[/inlmath]: [inlmath]21\choose5[/inlmath]
A zbirke medju sobom: [inlmath]5![/inlmath]

Konacno: [inlmath]20!\cdot{21\choose5}\cdot5![/inlmath]

Ako sam negde pogresila neka me neko ispravi.

pod 1)
Tih [inlmath]5[/inlmath] zbirki medju sobom mozemo odabrati na: [inlmath]5![/inlmath] nacina
Posto su svih [inlmath]5[/inlmath] zbirki jedna pored druge, njih mozemo posmatrati zajedno „kao da je jedna zbirka“.
Znaci ako posmatramo onih [inlmath]20[/inlmath] knjiga i tih [inlmath]5[/inlmath] zbirki (tj. „kao [inlmath]1[/inlmath] zbirku“), ukupno imamo [inlmath]21[/inlmath] knjigu, a njih mozemo rasporediti na: [inlmath]21![/inlmath] nacina

Ukupno: [inlmath]5!\cdot21![/inlmath]

Hvala

Još jedan način za deo pod [inlmath]2)[/inlmath] (za knjige koje nisu zbirke pesama koristiću oznaku [inlmath]K[/inlmath], a za zbirke pesama koristiću oznaku [inlmath]Z[/inlmath]):

[inlmath]1.[/inlmath] slučaj: na [inlmath]1.[/inlmath] poziciji se ne nalazi zbirka pesama
Kako bi se obezbedilo da nikoje dve zbirke pesama nisu jedna do druge, pre svake zbirke pesama stavićemo jednu knjigu koja nije zbirka pesama, te ćemo imati [inlmath]5[/inlmath] elemenata [inlmath]KZ[/inlmath] i [inlmath]15[/inlmath] elemenata [inlmath]K[/inlmath], koje raspoređujemo na ukupno [inlmath]20[/inlmath] pozicija, što čini [inlmath]20\choose5[/inlmath] mogućnosti (od [inlmath]20[/inlmath] pozicija birali smo njih [inlmath]5[/inlmath] na koje stavljamo elemente [inlmath]KZ[/inlmath]).

[inlmath]2.[/inlmath] slučaj: na [inlmath]1.[/inlmath] poziciji se nalazi zbirka pesama
Isto kao u prethodnom slučaju, s tim što sad ne posmatramo [inlmath]1.[/inlmath] poziciju (jer je ista zauzeta elementom [inlmath]Z[/inlmath]), već [inlmath]4[/inlmath] elementa [inlmath]KZ[/inlmath] i [inlmath]16[/inlmath] elemenata [inlmath]K[/inlmath] raspoređujemo na [inlmath]20[/inlmath] pozicija, što čini [inlmath]20\choose4[/inlmath] mogućnosti.

Na kraju je još potrebno zbir ovih mogućnosti, [inlmath]{20\choose5}+{20\choose4}[/inlmath], pomnožiti brojem permutacija zbirki ([inlmath]5![/inlmath]) i brojem permutacija knjiga koje nisu zbirke ([inlmath]20![/inlmath]).

---

P.S. Sasvim je očigledno da je rezultat dobijen na ovaj način, [inlmath]\Bigl({20\choose5}+{20\choose4}\Bigr)5!20![/inlmath], jednak rezultatu [inlmath]20!\cdot{21\choose5}\cdot5![/inlmath] dobijenom na prethodni način, ako se setimo Paskalove formule, [inlmath]{n-1\choose k}+{n-1\choose k-1}={n\choose k}[/inlmath].

P.S.2 Broj mogućnosti smo mogli računati i preko permutacija s ponavljanjem, kao što je Suzana i sugerisao (znam da je Suzana žensko ime, al' čovek sâm koristi muški rod u 1. licu, i to poštujem): za [inlmath]1.[/inlmath] slučaj [inlmath]\overline P_{20}^{5,15}=\frac{20!}{5!15!}[/inlmath], a za [inlmath]2.[/inlmath] slučaj [inlmath]\overline P_{20}^{4,16}=\frac{20!}{4!16!}[/inlmath].