MATEMANIJA

Zdravo i pozdrav svima!
Na koliko nacina se moze poredjati [inlmath]10[/inlmath] razlicitih knjiga na policu ali tako da za [inlmath]5[/inlmath] odredjenih vazi da nikoje dve ne budu jedna do druge?
[dispmath]a)\;4!\cdot6!\quad b)\;5!\cdot6!\quad c)\;5!\cdot7!\quad d)\;6!\cdot6!\quad e)\;6!\cdot7![/dispmath]
E sad obelezila sam sa [inlmath]1[/inlmath] izabranu knjigu a sa [inlmath]0[/inlmath] neizabranu, i sad [inlmath]000000[/inlmath] ([inlmath]6[/inlmath] mesta, [inlmath]4[/inlmath] knjige) ali neko drugi mi je pokazao ovako:

Postoji [inlmath]5[/inlmath] mesta koja dve knjige iz svake grupe mogu zauzeti. Ovim slotovima možete dodeliti svojih [inlmath]5[/inlmath] određenih knjiga za [inlmath]5![/inlmath] načine. Tada možemo da izaberemo da li unutrašnja [inlmath]3[/inlmath] slota imaju određenu knjigu na desnoj ili levoj strani unutar slota.

Ako je na levoj strani, prvo mesto takođe mora imati određenu knjigu na levoj strani, ali peto mesto može imati levu ili desnu.

Slično tome, ako unutrašnji [inlmath]3[/inlmath] ima određenu knjigu na desnoj strani, onda prvi slot može biti u svakom slučaju, ali i [inlmath]5.[/inlmath] slot mora imati određenu knjigu na desnoj strani. Konačno, [inlmath]5[/inlmath] nespecifičnih, ali različitih knjiga možemo dodeliti otvorenim [inlmath]5[/inlmath] slotova u [inlmath]5![/inlmath] načine. I dobija se [inlmath]4\cdot5!\cdot5![/inlmath]

Ali, tog resenja ovde nema.

Prvo smestamo knjige, sem tih pet knjiga. Njih mozemo da smestimo na [inlmath]5![/inlmath] nacina.
E sad ovih [inlmath]5[/inlmath] odredjenih knjiga treba smestiti tako da nikoje dve ne budu jedna do druge.
Znaci smesticemo ih izmedju ovih knjiga koje smo smestili, ukljucujuci mesto ispred prve knjige i iza poslednje knjige:

[inlmath]\qquad1\;\_\_\;2\;\_\_\;3\;\_\_\;4\;\_\_\;5\;\_\_\;6[/inlmath]
(Crtice predstavljaju knjige koje smo vec smestili, a brojevi [inlmath]1,2,3,\ldots,6[/inlmath] predstavljaju slobodna mesta gde mozemo da smestimo ove odredjene knjige.
Znaci:
biramo mesta: [inlmath]6\choose5[/inlmath]
medju sobom: [inlmath]5![/inlmath]

Ukupno: [inlmath]5!\cdot{6\choose5}\cdot5![/inlmath], a to je [inlmath]6!\cdot5![/inlmath]

Isto mozemo i onako kako si ti pocela, ali mnogo lakse.
Prvo smestimo [inlmath]5[/inlmath] odabranih, to je: [inlmath]5![/inlmath]
Neodabrane: [inlmath]{6\choose5}\cdot5![/inlmath]

Konacno:[inlmath]5!\cdot6![/inlmath]

Naravno postoji jos nacina kako da se resi ovaj zadatak.
Onako kako si ti pocela: Postoji [inlmath]5[/inlmath] mesta koja dve knjige iz svake grupe mogu zauzeti. Obelezimo sa [inlmath]O[/inlmath] - odabrane knjige, a sa [inlmath]N[/inlmath] - neodabrane.
Videcemo da odabrane knjige mozemo izabrati na: [inlmath]5![/inlmath] nacina,
i neodabrane isto tako na [inlmath]5![/inlmath] nacina.
Ovo ostalo moramo „prebrojavanjem“

1. ako je [inlmath]N[/inlmath] na prvom mestu levo onda je:
   
   [inlmath]NO\;NO\;NO\;NO\;NO[/inlmath] - [inlmath]1[/inlmath] nacin
2. ako je [inlmath]O[/inlmath] na prvom mestu levo:
   
   [inlmath]ON[/inlmath] zatim na drugom mestu levo [inlmath]O[/inlmath] ili [inlmath]N[/inlmath] bice:
   

   1. ako je [inlmath]NO[/inlmath] bice: [inlmath]ON\;NO\;NO\;NO\;NO[/inlmath] - [inlmath]1[/inlmath] nacin
   2. a ako je [inlmath]ON[/inlmath] isto moze na trecem mestu levo biti [inlmath]O[/inlmath] ili [inlmath]N[/inlmath]

Kad sve to ispisemo videcemo da ima ukupno [inlmath]6[/inlmath] nacina.
Na kraju sve to pomnozimo i dobijemo tacan rezultat

^ Prethodni način može i bez prebrojavanja, vrlo slično kao u ovom postu.
Dakle, isto posmatramo odvojeno slučaj da je [inlmath]N[/inlmath] na prvom mestu (tada imamo [inlmath]5[/inlmath] elemenata [inlmath]NO[/inlmath] koje možemo rasporediti na samo [inlmath]1[/inlmath] način), a zatim slučaj da je [inlmath]O[/inlmath] na prvom mestu (tada nam preostaje [inlmath]4[/inlmath] elementa [inlmath]NO[/inlmath] i [inlmath]1[/inlmath] element [inlmath]N[/inlmath], koje možemo rasporediti na [inlmath]5[/inlmath] načina) – ukupno [inlmath]6[/inlmath] načina, koje zatim množimo brojem permutacija određenih knjiga ([inlmath]5![/inlmath]) i brojem permutacija preostalih knjiga ([inlmath]5![/inlmath]).

emi je napisao:Isto mozemo i onako kako si ti pocela, ali mnogo lakse.
Prvo smestimo [inlmath]5[/inlmath] odabranih, to je: [inlmath]5![/inlmath]
Neodabrane: [inlmath]{6\choose5}\cdot5![/inlmath]

Konacno:[inlmath]5!\cdot6![/inlmath]

Nisam siguran jesam li ispravno razumeo ovaj način. Nakon što smo poređali [inlmath]5[/inlmath] [inlmath]O[/inlmath]-knjiga, između njih umećemo [inlmath]N[/inlmath]-knjige?
Ako je tako, onda to ne bismo smeli činiti tako što od [inlmath]6[/inlmath] pozicija izabiramo njih [inlmath]5[/inlmath], jer bi se moglo desiti da neizabrana pozicija bude neka od onih što se nalaze između dve [inlmath]O[/inlmath]-knjige. Npr. [inlmath]\underline NO\underline NO\underline{\;}O\underline NO\underline NO\underline N[/inlmath].
[inlmath]N[/inlmath]-knjige bi trebalo umetati unutar [inlmath]O[/inlmath]-knjiga tako što se prvo popune one [inlmath]4[/inlmath] pozicije između [inlmath]O[/inlmath]-knjiga, [inlmath]\underline{\;}O\underline NO\underline NO\underline NO\underline NO\underline{\;}[/inlmath], a nakon toga se ona preostala [inlmath]N[/inlmath]-knjiga smešta na neku od tih [inlmath]6[/inlmath] pozicija. Znači, jeste [inlmath]6[/inlmath] načina, s tim da se ta šestica ne dobija kao [inlmath]6\choose5[/inlmath]. Opet kažem, ako sam nešto pogrešno razumeo u ovom načinu, izvinjavam se.

U pravu si, ja sam pogresila.
Hvala ti