MATEMANIJA

Evo jednog zadatka iz kombinatorike
Od [inlmath]5[/inlmath] muskaraca i [inlmath]5[/inlmath] zena se bira upravni odbor kompanije i medju njima i predsednik upravnog odbora. Ako upravni odbor cini [inlmath]6[/inlmath] osoba od kojih su najmanje [inlmath]2[/inlmath] muskog i najmanje [inlmath]2[/inlmath] zenskog pola na koliko nacina se moze izabrati upravni odbor i predsednik upravnog odbora?
[inlmath]A)\;1200\quad[/inlmath] [inlmath]B)\;1000\quad[/inlmath] [inlmath]V)\;900\quad[/inlmath] [inlmath]G)\;60\quad[/inlmath] [inlmath]D)\;300[/inlmath]

Ovde dakle treba izabrati [inlmath]6[/inlmath] clana od [inlmath](5,5)[/inlmath] tako da imamo [inlmath]2[/inlmath] muskarca i [inlmath]2[/inlmath] zene
Biramo [inlmath]2[/inlmath] muskarca znaci [inlmath]{5\choose2}=10\text{ nacina}[/inlmath]. Takodje [inlmath]10[/inlmath] nacina i za biranje zena
I na kraju potrebno je izabrati jos [inlmath]2[/inlmath] osobe od ostatka
[inlmath]{6\choose2}=15\text{ nacina}[/inlmath]
Konacno: [inlmath]10\cdot10\cdot15=1500[/inlmath]
Ali ovog nema u resenju, greska je kod mene ili u resenju? Hvala

Nisam sugurna, ali trebalo bi ovako:
Obelezimo [inlmath]M[/inlmath]-muskarce i [inlmath]Z[/inlmath]-zene.
Razlikujemo slucajeve:

• [inlmath]2M-4Z:\quad[/inlmath] [inlmath]{5\choose2}{5\choose4}=50[/inlmath]
• [inlmath]3M-3Z:\quad[/inlmath] [inlmath]{5\choose3}{5\choose3}=100[/inlmath]
• [inlmath]4M-2Z:\quad[/inlmath] [inlmath]{5\choose4}{5\choose2}=50[/inlmath]

Time smo odabrali clanove upravnog odbora, ali u zadatku se jos trazi da izaberemo i predsednika upravnog odbora.
Znaci od tih clanova upravnog odbora biramo predsednika: [inlmath]6\choose1[/inlmath]

Ukupno: [inlmath](50+100+50)\cdot6=1200[/inlmath]

@markonikolic23 Da li je to resenje zadatka?

markonikolic23 je napisao:Biramo [inlmath]2[/inlmath] muskarca znaci [inlmath]{5\choose2}=10\text{ nacina}[/inlmath]. Takodje [inlmath]10[/inlmath] nacina i za biranje zena
I na kraju potrebno je izabrati jos [inlmath]2[/inlmath] osobe od ostatka

Ovo je dosta česta greška u rešavanju zadataka iz kombinatorike. Na ovaj način si, recimo, u jednom izboru prvo odabrao Peru i Miku kao dva muškarca, a zatim Katu i Zlatu kao dve žene, nakon čega si od ostatka izabrao još dve osobe, npr. Žiku i Natu.
Međutim, u nekom drugom izboru, radeći na ovaj način, kao dva muškarca ćeš izabrati Žiku i Miku, kao dve žene Natu i Zlatu, a od ostatka ćeš izabrati Peru i Katu. I imaćeš potpuno iste osobe kao u onom prethodnom izboru. To znači da si jedan faktički isti izbor računao više puta, zbog čega si dobio veći rezultat od stvarnog.

emi je napisao:@markonikolic23 Da li je to resenje zadatka?

Nadam se da ne smeta da odgovorim umesto markanikolica23 – da, dobro je rešenje.