MATEMANIJA

Trebao bih pomoc oko ova dva zadatka.

*** MOD EDIT *** 1. zadatak premešten u rubriku „Trigonometrija“.

2. Za koje vrijednosti [inlmath]x[/inlmath] je treci clan u razvoju binoma [inlmath]\left(x+x^{\log x}\right)^5[/inlmath] jednak [inlmath]10^6[/inlmath].

[inlmath]k[/inlmath]-ti član u razvoju binoma [inlmath]\left(a+b\right)^n[/inlmath] dat je izrazom
[dispmath]{n\choose k-1}a^{n-k+1}b^{k-1}[/dispmath]
Ovde je
[inlmath]n=5[/inlmath]
[inlmath]k=3[/inlmath] (jer se traži treći član u razvoju)
[inlmath]a=x[/inlmath]
[inlmath]b=x^{\log x}[/inlmath]
pa je treći član:
[dispmath]{5\choose 2}x^3\left(x^{\log x}\right)^2=10^6[/dispmath]
[dispmath]10x^3\cdot x^{2\log x}=10^6\quad /:10[/dispmath]
[dispmath]x^{3+2\log x}=\frac{10^6}{10}[/dispmath]
[dispmath]x^{3+2\log x}=10^5\quad /\log[/dispmath]
[dispmath]\log x^{3+2\log x}=\log 10^5[/dispmath]
[dispmath]\left(3+2\log x\right)\log x=5[/dispmath]
Smena [inlmath]\log x=t[/inlmath], rešiš kvadratnu jednačinu po [inlmath]t[/inlmath], dobiješ dva rešenja: [inlmath]t_1=-\frac{5}{2}[/inlmath] i [inlmath]t_2=1[/inlmath]. Kad vratiš smenu, rešenja su [inlmath]x_1=10^{-\frac{5}{2}}[/inlmath] i [inlmath]x_2=10[/inlmath].