MATEMANIJA

Koliko ima petocifrenih brojeva formiranih od datih cifara [inlmath]2,3,5,7,8[/inlmath] u kojima se cifra [inlmath]3[/inlmath] nalazi ispred cifre [inlmath]7[/inlmath] ako se cifre ne mogu ponavljati?
Tačan odgovor je [inlmath]60[/inlmath]

Započeo sam sledećim redosledom;
Na prvo mesto stavimo cifru [inlmath]3[/inlmath] i za cifru [inlmath]7[/inlmath] nam ostaje [inlmath]4![/inlmath] tj. [inlmath]24[/inlmath] mogućnosti.
Onda stavimo [inlmath]3[/inlmath] na drugo mesto, ali na prvo takođe stavimo neki od brojeva [inlmath]2,5,8[/inlmath] i njih permutujemo (brojevi ispod kućica predstavljaju cifre koje stoje na tom mestu;
[inlmath]\_\;3\;\_\;\_\;\_\quad3!=6\\
2\\
\_\;3\;\_\;\_\;\_\quad3!=6\\
5\\
\_\;3\;\_\;\_\;_\quad3!=6\\
8[/inlmath]

[inlmath]3[/inlmath] može stajati i na trećem mestu, s tim da na prethodna dva mesta permutujemo ostale cifre osim sedmice;
[inlmath]\_\;\_\;3\;\_\;\_\quad2!=2\\
2\;5\\
\_\;\_\;3\;\_\;\_\quad2!=2\\
5\;2\\
\_\;\_\;3\;\_\;\_\quad2!=2\\
2\;8\\
\_\;\_\;3\;\_\;\_\quad2!=2\\
8\;2\\
\_\;\_\;3\;\_\;\_\quad2!=2\\
5\;2\\
\_\;\_\;3\;\_\;\_\quad2!=2\\
2\;5\\
\_\;\_\;3\;\_\;\_\quad2!=2\\
5\;8\\
\_\;\_\;3\;\_\;\_\quad2!=2\\
8\;5[/inlmath]

Poslednja mogućnost je da [inlmath]3[/inlmath] stoji na četvrtom mestu i na sličan način dobijamo;
[inlmath]\_\;\_\;\_\;3\;\_[/inlmath] ukupno [inlmath]1[/inlmath] mogućnost (i za ostale slučajeve navedene ispod)
[inlmath]2\;5\;8\\
\_\;\_\;\_\;3\;\_\\
2\;8\;5\\
\_\;\_\;\_\;3\;\_\\
8\;2\;5\\
\_\;\_\;\_\;3\;\_\\
8\;5\;2\\
\_\;\_\;\_\;3\;\_\\
5\;2\;8\\
\_\;\_\;\_\;3\;\_\\
5\;8\;2[/inlmath]

Kad se sve sabere, ukupno dobijam [inlmath]64[/inlmath] mogućnosti. Gde sam napravio propust?
Hvala unapred.

Acim je napisao:[inlmath]3[/inlmath] može stajati i na trećem mestu, s tim da na prethodna dva mesta permutujemo ostale cifre osim sedmice;
[inlmath]\_\;\_\;3\;\_\;\_\quad2!=2\\
2\;5\\
\_\;\_\;3\;\_\;\_\quad2!=2\\
5\;2[/inlmath]
[inlmath]\_\;\_\;3\;\_\;\_\quad2!=2\\
2\;8\\
\_\;\_\;3\;\_\;\_\quad2!=2\\
8\;2[/inlmath]
[inlmath]\_\;\_\;3\;\_\;\_\quad2!=2\\
5\;2\\
\_\;\_\;3\;\_\;\_\quad2!=2\\
2\;5[/inlmath]
[inlmath]\_\;\_\;3\;\_\;\_\quad2!=2\\
5\;8\\
\_\;\_\;3\;\_\;\_\quad2!=2\\
8\;5[/inlmath]

Tu si brojao duplo.

Hvala. Zaboravih da napomenem da su cifre [inlmath]2,3,5,7,8[/inlmath].

^ Dopunio sam uvodni post tim podatkom.

Nema potrebe razmatrati sve te slučajeve. Dovoljno je od [inlmath]5[/inlmath] pozicija izdvojiti [inlmath]2[/inlmath] pozicije za cifre [inlmath]3[/inlmath] i [inlmath]7[/inlmath], što se može učiniti na [inlmath]5\choose2[/inlmath] načina, a zatim preostale [inlmath]3[/inlmath] cifre raspoređujemo na [inlmath]3![/inlmath] načina.

Ili, još jednostavnije – ukupan broj načina na koje od cifara [inlmath]2,3,5,7,8[/inlmath] (ne vodeći računa o položaju cifara [inlmath]3[/inlmath] i [inlmath]7[/inlmath]) možemo formirati petocifrene brojeve, iznosi [inlmath]5![/inlmath]. Među svim tim petocifrenim brojevima, intuitivno je jasno da će biti podjednak broj onih kod kojih je [inlmath]3[/inlmath] ispred [inlmath]7[/inlmath] i onih kod kojih je [inlmath]7[/inlmath] ispred [inlmath]3[/inlmath]. Dakle, [inlmath]5![/inlmath] treba podeliti sa [inlmath]2[/inlmath] da bismo dobili broj onih petocifrenih brojeva kod kojih je [inlmath]3[/inlmath] ispred [inlmath]7[/inlmath].