MATEMANIJA

Na koliko različitih načina se mogu rasporediti [inlmath]3[/inlmath] kuglice u [inlmath]2[/inlmath] kutije tako da je svaka kuglica u nekoj kutiji i neke kutije mogu biti i prazne, ako se;
[inlmath]A)[/inlmath] kuglice razlikuju i kutije razlikuju;
[inlmath]B)[/inlmath] kuglice ne razlikuju i kutije razlikuju;
[inlmath]C)[/inlmath] kuglice razlikuju i kutije ne razlikuju;
[inlmath]D)[/inlmath] kuglice ne razlikuju i kutije ne razlikuju?
Rešenja:
[inlmath]A)\;8[/inlmath]
[inlmath]B)\;4[/inlmath]
[inlmath]C)\;4[/inlmath]
[inlmath]D)\;2[/inlmath]

Naravno, nema potrebe da mi se pokazuje svaki deo ponaosob, nego samo ideja kako da krenem, tj. da razmišljam u ovakvom zadatku. Šta konkretno znači da se kuglice razlikuju i kutije razlikuju pri raspoređivanju u odnosu na raspoređivanje istih u zahtevu pod [inlmath]B)[/inlmath]?
Hvala unapred.

Neka se npr. i kutije i kuglice razlikuju, pri čemu su kutije numerisane brojevima [inlmath]1[/inlmath] i [inlmath]2[/inlmath], a kuglice numerisane brojevima [inlmath]1[/inlmath], [inlmath]2[/inlmath] i [inlmath]3[/inlmath].
Zamislimo slučaj da su u kutiji [inlmath]1[/inlmath] kuglice [inlmath]1[/inlmath] i [inlmath]3[/inlmath], a u kutiji [inlmath]2[/inlmath] kuglica [inlmath]2[/inlmath].
Zatim zamislimo slučaj da je u kutiji [inlmath]1[/inlmath] kuglica [inlmath]2[/inlmath], a u kutiji [inlmath]2[/inlmath] kuglice [inlmath]1[/inlmath] i [inlmath]3[/inlmath].
Ako se kutije ne bi razlikovale, onda bi ova dva slučaja zapravo bila jedan isti slučaj – u nekoj od kutija (nebitno kojoj) imali bismo kuglice [inlmath]1[/inlmath] i [inlmath]3[/inlmath], a u onoj preostaloj kutiji imali bismo kuglicu [inlmath]2[/inlmath].

Takođe, ako se kuglice razlikuju i u jednoj od kutija imamo kuglice [inlmath]1[/inlmath] i [inlmath]2[/inlmath], a u onoj drugoj kuglicu [inlmath]3[/inlmath], to je jedan slučaj. Ako, pak, u jednoj kutiji imamo kuglice [inlmath]2[/inlmath] i [inlmath]3[/inlmath] a u onoj drugoj imamo kuglicu [inlmath]1[/inlmath], to je drugi slučaj. Međutim, ako se kuglice ne bi razlikovale, oba ova slučaja bi bila jedan isti slučaj – u jednoj kutiji imali bismo dve kuglice (nebitno koje), a u drugoj kutiji jednu kuglicu (nebitno koju).

[inlmath]A)[/inlmath] su varijacije s ponavljanjem od [inlmath]2[/inlmath] elementa [inlmath]3.[/inlmath] klase – zamislimo da iz vreće tri puta izvlačimo (s vraćanjem) jednu od dve kutije, i svaki put kad neku kutiju izvučemo dodelimo joj kuglicu s onim rednim brojem koji predstavlja redni broj izvlačenja. Takođe, možemo razmišljati i ovako – svaka od tri kuglice ima dve mogućnosti, da bude ubačena u kutiju [inlmath]1[/inlmath] ili u kutiju [inlmath]2[/inlmath], to je [inlmath]2\cdot2\cdot2[/inlmath] mogućnosti.

[inlmath]B)[/inlmath] su standardne kombinacije s ponavljanjem – pogledaj ovaj tutorijal, poglavlje „Kombinacije s ponavljanjem“.

[inlmath]C)[/inlmath] Pošto se za razliku od slučaja pod [inlmath]A)[/inlmath] ovde kutije ne razlikuju, a nije moguće da u obe kutije bude podjednak broj kuglica (jer je broj kuglica neparan), broj slučajeva pod [inlmath]A)[/inlmath] možemo jednostavno podeliti sa [inlmath]2[/inlmath] (broj kutija) kako bismo dobili broj slučajeva pod [inlmath]C)[/inlmath].

[inlmath]D)[/inlmath] Po istom rezonu, broj slučajeva pod [inlmath]B)[/inlmath] delimo sa [inlmath]2[/inlmath] kako bismo dobili broj slučajeva pod [inlmath]D)[/inlmath].