MATEMANIJA

Prijemni ispit FON – 1. jul 2013.
20. zadatak

U razvoju [inlmath]\left(\sqrt[33]{31}+\sqrt[9]7\right)^{2013}[/inlmath] broj članova koji su celi brojevi jednak je: [inlmath]21[/inlmath]

E sad, ja sam radio preko formule [inlmath]{n\choose k}a^{n-k}b^k[/inlmath].

NZS za [inlmath]33[/inlmath] i [inlmath]9[/inlmath] broj [inlmath]99[/inlmath]. Kada podelimo [inlmath]2013[/inlmath] sa [inlmath]99[/inlmath], dobijemo [inlmath]21[/inlmath] sto je i resenje. Ali ja kada uvrstim [inlmath]0[/inlmath] kao [inlmath]k[/inlmath], takodje su celi brojevi - znaci ima [inlmath]22[/inlmath] resenja.

Zna li neko gde gresim?

Moguće da ti se negde potkrala greška pri tom načinu rešavanja, ali kao što si i sam uvideo, za [inlmath]k=0[/inlmath] takođe dobijamo ceo broj. Probaj preko nizova, tj preko formule za opšti član;
Prva [inlmath]k[/inlmath] vrednost koja ispunjava uslov je [inlmath]0[/inlmath] pa [inlmath]99[/inlmath] pa [inlmath]198[/inlmath] itd... Iz ovoga vidimo da je prvi član, tj [inlmath]a_1=0[/inlmath], razlika ([inlmath]d[/inlmath]) između vrednosti [inlmath]99[/inlmath] i da je poslednja [inlmath]k[/inlmath] vrednost koja ispunjava uslov [inlmath]1980[/inlmath], a to je i [inlmath]n[/inlmath]-ti član, tj. [inlmath]a_n[/inlmath].
Sada primeniš formulu navedenu na početku;
[inlmath]a_n=a_1+\left(n-1\right)d[/inlmath]
[dispmath]1980=99n-99[/dispmath] Odakle se dobija da je [inlmath]n=21[/inlmath] što je i rešenje.

buca je napisao:Kada podelimo [inlmath]2013[/inlmath] sa [inlmath]99[/inlmath], dobijemo [inlmath]21[/inlmath] sto je i resenje.

Ne dobijemo [inlmath]21[/inlmath], nego dobijemo [inlmath]20,333\ldots[/inlmath] U tome i jeste stvar. Zaokružio si na veći ceo broj i time dobio [inlmath]21[/inlmath] (što bi s nulom bilo [inlmath]22[/inlmath]), a da si zaokružio na manji ceo broj dobio bi [inlmath]20[/inlmath] (što bi s nulom odgovaralo tačnom rešenju [inlmath]21[/inlmath]). Zato je taj način prilično nesiguran. Najbolje je ovako kako ti je Acim odgovorio, s tim da se može i zaobići formula za aritmetički niz, na način koji sam opisao u ovom postu.