MATEMANIJA

Da bismo govorili o permutacijama, bitno je da su SVI elementi pocetnog skupa izabrani i da njihov poredak JESTE bitan.

A kada govorimo o varijacijama, bitno je da NISU svi elementi pocetnog skupa izabrani i da njihov poredak JESTE bitan.

1. Tako na primer kada radimo sa skupom [inlmath]S=\{A,B,C,D\}[/inlmath]; Sve [inlmath]4[/inlmath]-permutacije bi brojale [inlmath]4![/inlmath]... Ovde mozemo izdvojiti dve vrednosti, [inlmath]N[/inlmath] koja predstavlja broj clanova tj. [inlmath]N=4[/inlmath] i broj pozicija na kojim mozemo da rasporedjujemo clanove tj. vrednost [inlmath]K[/inlmath] za koju vazi takodje [inlmath]K=4[/inlmath].

2. A sada npr. za isti skup [inlmath]S=\{A,B,C,D\}[/inlmath]; sve [inlmath]3[/inlmath]-permutacije bi sada zapravo oslovljavali sa pojmom "varijacija" odnosno bi imali [inlmath]\frac{4!}{(4-3)!}[/inlmath] varijacija. Ovde takodje izdvajamo:

1) Broj clanova - [inlmath]N=4[/inlmath];

2) Broj pozicija na kojim rasporedjujemo clanove - [inlmath]K=3[/inlmath];


[inlmath]\ast[/inlmath] E sada moje pitanje, sta je u pitanju kada imamo recimo skup [inlmath]S=\{0,1\}[/inlmath]; i [inlmath]4[/inlmath] pozicije na kojim rasporedjujemo elemente tj. izdvajamo:

1) Broj clanova - [inlmath]N=2[/inlmath];

2) Broj pozicija na kojim rasporedjujemo clanove - [inlmath]K=4[/inlmath];

Ovde radimo sa SVIM elementima i poredak JESTE bitan, ali opet, razlikuje se od prvog primera koji sam dao tako da nisam siguran da li su permutacije u pitanju.

Jos bih dodao i to da mi je prvo palo na pamet da su mozda permutacije sa ponavljanjem u pitanju... Ali to bi bio slucaj, ako se ne varam, jedino ako je skup [inlmath]S=\{A,B,C,D,D\}[/inlmath] na primer, tj. da dâm neki praktican primer, [inlmath]5[/inlmath] knjiga na polici od kojih su dve identicne... Ovde bi mogla da se koristi formula:
[dispmath]\frac{n!}{m_1!\cdot m_2!\cdot m_3!\cdots m_k!}[/dispmath] Ali u mom primeru sa [inlmath]S=\{0,1\}[/inlmath]; i [inlmath]K=4[/inlmath] ovo ne bi funkcionisalo, bar mi moja intuicija tako kaze... Znaci bukvalno, moj primer zadovoljava uslove permutacije a vise lici na varijaciju ali izgleda nije nista od ta dva...

Griezzmiha je napisao:E sada moje pitanje, sta je u pitanju kada imamo recimo skup [inlmath]S=\{0,1\}[/inlmath]; i [inlmath]4[/inlmath] pozicije na kojim rasporedjujemo elemente tj. izdvajamo:

1) Broj clanova - [inlmath]N=2[/inlmath];

2) Broj pozicija na kojim rasporedjujemo clanove - [inlmath]K=4[/inlmath];

Ovde radimo sa SVIM elementima i poredak JESTE bitan, ali opet, razlikuje se od prvog primera koji sam dao tako da nisam siguran da li su permutacije u pitanju.

Primer koji navodiš predstavlja varijacije, i to s ponavljanjem. Čim je [inlmath]K>N[/inlmath] to znači da moraju biti s ponavljanjem, budući da se očigledno svaki od elemenata može pojavljivati više puta (jer kad bi se svaki element mogao pojavljivati samo jednom, ne bismo ih mogli rasporediti na više od [inlmath]2[/inlmath] mesta, logično). Primer koji si naveo zapravo predstavlja broj mogućih binarnih brojeva od četiri cifre: [inlmath]0000[/inlmath], [inlmath]0001[/inlmath], [inlmath]0010[/inlmath], [inlmath]0011[/inlmath], [inlmath]0100[/inlmath], [inlmath]0101[/inlmath] itd.

Griezzmiha je napisao:Jos bih dodao i to da mi je prvo palo na pamet da su mozda permutacije sa ponavljanjem u pitanju... Ali to bi bio slucaj, ako se ne varam, jedino ako je skup [inlmath]S=\{A,B,C,D,D\}[/inlmath] na primer, tj. da dâm neki praktican primer, [inlmath]5[/inlmath] knjiga na polici od kojih su dve identicne...

Da, raspoređivanje knjiga na polici od kojih su neke identične, jeste primer permutacija s ponavljanjem. Ali, to je sasvim nešto drugo u odnosu na onaj primer sa skupom [inlmath]\{0,1\}[/inlmath] i raspoređivanjem njegovih elemenata na [inlmath]4[/inlmath] mesta.
Za permutacije s ponavljanjem nije baš korektno koristiti oznaku skupa u kojem se elementi ponavljaju ([inlmath]S=\{A,B,C,D,D\}[/inlmath]), jer u oznakama skupova broj pojavljivanja nekog elementa nije bitan, tj. skupovi [inlmath]\{A,B,C,D,D\}[/inlmath], [inlmath]\{A,B,C,D\}[/inlmath] i [inlmath]\{A,B,C,D,D,D,D,D,D,D\}[/inlmath] su svi međusobno jednaki (pogledaj ovu temu, negde šesti pasus).

Takođe, kako bi uočio jasnu razliku između permutacija, varijacija i kombinacija, kako bez ponavljanja tako i s ponavljanjem, preporučujem da baciš pogled i na ovu temu.

Jos jedno pitanje u vezi ovoga... Meni je nekako intuitivno bilo da otpisem sve tri varijante (varijacije, kombinacije i permutacije) za binarne brojeve od [inlmath]4[/inlmath] cifara, jer mi je argument bio da permutacije nisu sigurno a ocito je poredak jako bitan pa znaci da nisu ni kombinacije... Ali sad, zasto sam se dvoumio oko varijacija, cini mi se da polako uvidjam ali opet nisam siguran, s obzirom da varijacije po definiciji karakterisu nesto sto NEMA sve izabrane elemente iz pocetnog skupa. A opet ukoliko je [inlmath]K[/inlmath] veci od [inlmath]N[/inlmath] postoji mogucnost da ja ipak u nekom slucaju izaberem sve elemente, sto je zapravo upravo slucaj sa ovim binarnim brojevima....

Ako je sama definicija varijacije da ne baratam, takoreci, sa svim elementima skupa, ako napisem broj [inlmath]0001[/inlmath] upravo sam iskoristio sve elemente, zar ne?


Mozemo li onda reci da definicija za varijacije vazi samo za varijacije bez ponavljanja, tj. da ocito definicija ima neke rupe u sebi, mozda jednostavno nije dovoljno formalna? Ja se pozivam na ove osnovne definicije, ne znam da li postoji neka formalnija koja se bavi ovim problemom.

Definicija ima poveliku rupu. Zašto svi elementi ne bi bili korišćeni? Možeš li da navedeš izvor: autora, članak ili udžbenik?
Najlakše ti je da zamisliš ovako:
U kutiji imaš dve kuglice, obeležene brojevima [inlmath]0[/inlmath] i [inlmath]1[/inlmath]. Varijacije s ponavljanjem četvrte klase od ova dva elementa predstavljaju četiri izvlačenja po jedne kuglice s vraćanjem posle svakog izvlačenja, pri čemu je bitan poredak, tj. kojim redom su izvlačene kuglice. Može se [inlmath]4[/inlmath] puta zaredom izvući kuglica s brojem [inlmath]0[/inlmath]. Nisu korišćeni svi elementi. Može se prvi put izvući [inlmath]0[/inlmath], pa [inlmath]1[/inlmath], pa [inlmath]0[/inlmath], pa [inlmath]1[/inlmath]. Korišćeni su svi elementi, tj. oba i to po dva puta svaki, baš tim redosledom. Jasno je da ovih načina izvlačenja s vraćanjem kuglice u kutiju uz bitan redosled ima [inlmath]16[/inlmath].

Sto se izvora tice, J.V.Uspensky "Introduction to mathematical probability", je knjiga kojom se sluzim... Ovde je u sustini na 18-toj stranici objasnjeno u kratkim crtama sta su permutacije, varijacije i kombinacije... Objasnjenje varijacija u knjizi obuhvata primer sa cetiri slova [inlmath]a,b,c,d[/inlmath] iz kojih moze proistaci [inlmath]12[/inlmath] parova od po dva slova... Ovde nije nuzno naglaseno da se ne mogu izabrati svi elementi skupa kada su varijacije, ali opet se nekako indirektno namece ta pretpostavka cim se da ovakav primer. Dok sam konkretno ovu, nazovimo je definicijom, pokupio sa nekog sajta.

Sve ovo o čemu govoriš, tačno je ako se odnosi na varijacije bez ponavljanja.
Ali, postoje i varijacije s ponavljanjem, o kojima i pričamo sve vreme. Ako bismo modifikovali tvoj primer s četiri slova [inlmath]a[/inlmath], [inlmath]b[/inlmath], [inlmath]c[/inlmath] i [inlmath]d[/inlmath], tako da formiramo parove od po dva slova u kojima se slova mogu ponavljati, tada bismo mogli formirati [inlmath]4^2[/inlmath] takvih parova: [inlmath]aa[/inlmath], [inlmath]ab[/inlmath],[inlmath]ac[/inlmath], [inlmath]ad[/inlmath], [inlmath]ba[/inlmath], [inlmath]bb[/inlmath], [inlmath]bc[/inlmath]...
Pošto je kod varijacija s ponavljanjem iz ovog primera [inlmath]K<N[/inlmath], naravno da ne mogu svi elementi biti iskorišćeni. Ali to ne mora uvek biti slučaj kod varijacija s ponavljanjem. Da je, kojim slučajem, trebalo formirati petorke slova u kojima se slova mogu ponavljati, takvih mogućnosti bi bilo [inlmath]4^5[/inlmath], u nekim slučajevima bi sva slova bila iskorišćena (primer: [inlmath]abccd[/inlmath]) a u nekim ne (primer: [inlmath]bbbdd[/inlmath]).