MATEMANIJA

Pozdrav,

Zbir binomnih koeficijenata trećeg člana od početka i trećeg člana od kraja u razvoju izraza [inlmath]\left(\sqrt[4]3+\sqrt[3]4\right)^n[/inlmath] [inlmath](n\in\mathbb{N})[/inlmath] jednak je [inlmath]2450[/inlmath]. Broj racionalnih članova u tom razvoju je:

Rešenje: [inlmath]4[/inlmath]
[dispmath]{n\choose2}+{n\choose2}=2450\\
n^2-n-2450=0\\
n_1=-49,\quad n_2=50[/dispmath] Sad pošto [inlmath]n>0[/inlmath] uzimamo rešenje [inlmath]n=50[/inlmath], dalje:
[dispmath]T_{k+1}={n\choose k}a^{n-k}b^k\\
T_{k+1}={50\choose k}\left(3^\frac{1}{2}\right)^{50-k}\left(4^\frac{2}{3}\right)^k\\
T_{k+1}={50\choose k}3^\frac{50-k}{2}4^\frac{2k}{3}[/dispmath] Da bi član bio racionalan, i jedan i drugi eksponent mora biti prirodan broj što znači:
[dispmath]\frac{50-k}{2}\in\mathbb{N}\;\land\;\frac{2k}{3}\in\mathbb{N}\\
n=50,\quad k\in\{1,2,3,\ldots,50\}[/dispmath] Sad [inlmath]k[/inlmath] mora biti deljivo sa [inlmath]3[/inlmath] i tu
[dispmath]k\in\{3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,33,36,39,42,45,48\}[/dispmath] I [inlmath]k[/inlmath] još mora biti deljivo sa [inlmath]2[/inlmath] tako da iz ovog prethodnog skupa uzimam brojeve deljive sa [inlmath]2[/inlmath] i konačno dobijam da:
[dispmath]k\in\{6,12,18,24,30,36,42,48\}[/dispmath] Dobio sam [inlmath]8[/inlmath] racionalnih članova dok u rešenju piše da ih ima samo [inlmath]4[/inlmath]. Ne znam gde sam pogrešio.

milan7654 je napisao:[dispmath]T_{k+1}={50\choose k}\left(3^\frac{1}{2}\right)^{50-k}\left(4^\frac{2}{3}\right)^k[/dispmath]

Odakle ti ovo? Da li izraz glasi [inlmath]\left(\sqrt3+\sqrt[3]{4^2}\right)^n[/inlmath], ili glasi [inlmath]\left(\sqrt[4]3+\sqrt[3]4\right)^n[/inlmath] kako si gore napisao?

Ovako kako sam ja napisao. Moja greška onda u računu, treba da bude:
[dispmath]T_{k+1}={50\choose k}3^\frac{50-k}{4}4^\frac{k}{3}[/dispmath] I onda uzimaju se brojevi iz prvog skupa koji su deljivi sa [inlmath]4[/inlmath] pa [inlmath]k[/inlmath] pripada: [inlmath]k\in\{6,18,30,48\}[/inlmath]

milan7654 je napisao:pa [inlmath]k[/inlmath] pripada: [inlmath]k\in\{6,18,30,48\}[/inlmath]

Poslednji broj treba da bude [inlmath]42[/inlmath] (ali ok, to se i ne traži, već se traži koliko je takvih brojeva, a to si tačno odgovorio).
Dakle, [inlmath]k[/inlmath] treba da bude paran broj koji nije deljiv sa [inlmath]4[/inlmath] (a takav je svaki četvrti među prirodnim brojevima), i treba da bude deljiv sa [inlmath]3[/inlmath] (a takav je svaki treći među prirodnim brojevima). Samim tim, oba ova uslova ispunjavaće svaki dvanaesti ([inlmath]4\cdot3[/inlmath]) među prirodnim brojevima. Čim si odredio prvi takav broj, a to je [inlmath]6[/inlmath], svaki sledeći biće za po [inlmath]12[/inlmath] veći.

Da u pravu si, hvala na pomoći